Вычислительный эксперимент и анализ результатов

Сначала рассмотрим движение планеты около одной звезды. Построим семейство траекторий планеты при различных значениях начальной скорости . Они показаны на рис. 13.13. Мы видим известные всем эллиптические орбиты, правда надо еще доказать что данные кривые действительно являются эллипсами. В целом наши прогнозы оправдались, но результаты численных расчетов демонстрирует замечательный результат, не предусмотренный качественным анализом - траектории планеты являются замкнутыми. Действительно, из наших рассуждений никак не следует, что за один период изменения расстояния угол поворота возрастет точно на . В этих экспериментах временной шаг выбирался равным . Используя методы высшей математики, данную задачу можно решить строго и доказать, как замкнутость орбит, так и их эллиптичность.

При этом погрешность вычисления энергии не превышала 0.005. Расчет траектории для выполнен при . Как видим погрешность в этом случае превысила значение 0.005.

Используя методы высшей математики, данную задачу можно решить строго и доказать, как замкнутость орбит, так и их эллиптичность.

Рис. 13.13

Возможные типы движений системы можно проанализировать по виду потенциальной кривой. В нашем случае эффективная потенциальная энергия определяется функцией (13.15), которая в используемой системе единиц имеет вид:

.

Если[17] , то при , а при , причем . Следовательно, данная функция имеет точку минимума, то есть очередной раз мы «попадаем» в потенциальную яму. Эффективная потенциальная энергия зависит от начальных условий, поэтому у нас нет возможности независимо варьировать потенциальную кривую и начальные условия. Это упрощает анализ - мы имеем только один варьируемый параметр - начальную скорость. Следовательно, одной потенциальной кривой соответствует одна траектория. В наших единицах начальное расстояние равно 1, поэтому полная энергия равна эффективной потенциальной энергии при . Это позволяет сразу провести на графике потенциальной энергии уровень полной энергии. Чтобы не загромождать график, этот уровень проведем мысленно на рис.13.13, где представлено семейство потенциальных кривых для рассматриваемой задачи.

Все кривые качественно аналогичны - имеют один минимум. Однако виды движений различаются. Если полная энергия планеты , то расстояние до звезды изменяется в ограниченных пределах, при то расстояние до звезды возрастает неограниченно.

Из формулы (13.11) следует, что при . Этот результат хорошо знаком, вторая космическая скорость в раз превышает первую космическую. На рис. 13.13 видно, что при полная энергия становится положительной. Обратите внимание на кривую при начальное расстояние соответствует точке минимума эффективной потенциальной энергии. Следовательно, при этой скорости расстояния до звезды остается постоянным, то есть орбита является окружностью - в этом нет ничего удивительного, мы так и определили единицу скорости. Глядя на графики, можно сделать еще одно заключение - при начальное расстояние является максимальным расстоянием до звезды (в ходе движения это расстояние начинает уменьшаться), при начальное расстояние является минимальным.

В нашей модели имеется флажок “Ньютон не прав!”. Если его установить, то расчеты будут выполняться в соответствии с “подправленным” законом всемирного тяготения. С большим удовольствием заметим, что учет добавки в компьютерной программе очень прост, а аналитическое решение отсутствует. Конечно, можно воспользоваться законами сохранения и установить пределы изменения расстояния, но даже в этом случае придется решать «неприятные» уравнения, опять же с использованием численных методов.

Результат расчета показан на рис.13.14 (траектория рассчитана при и ). Как видите, в этом случае период изменения расстояния не совпадает с периодом обращения, поэтому орбита, как бы поворачивается. Этот эффект называется прецессией орбиты. Понятно, что с возрастанием скорость прецессии возрастает.

Рис. 13.14

Интересно заметить, что орбита Меркурия медленно прецессирует (со скоростью порядка десятка угловых секунд в столетие), причем это смещение орбиты нельзя полностью объяснить влиянием других планет. Поэтому наблюдаемое смещение считается подтверждением эйнштейновской теории гравитации (общей теории относительности).

Если незначительно изменить Ньютоновский закон тяготения иным способом, то это также приведет к прецессии орбиты. На рис. 13.15 показана пара траекторий движения планеты для двух других законов притяжения. Как видите, эффект тот же.

Рис. 15.15

Рассмотрим далее движение планеты в системе двойной звезды.

В этой модели мы используем переменный временной шаг. Он обратно пропорционален ускорению планеты (см. программный код: dt = dt0 / Sqrt(axPlanet ^ 2 + ayPlanet ^ 2)). Это обеспечивает большую точность решения. Однако, при таком подходе, чем дальше планета от звезд, тем больше временной шаг и создается впечатление, что планета начинает двигаться быстрее. На самом деле все наоборот. В соответствии с законом сохранения момента импульса при удалении от звезды планета будет двигаться медленнее. Конечно, чтобы визуальное впечатление совпадало с реальной картиной, временной шаг можно сделать постоянным, но это приведет (для заданной погрешности) к резкому замедлению построения траектории планеты

Проанализируем случай, когда планета движется возле одной из звезд, на расстояниях значительно меньших расстояния между звездами. В такой ситуации можно ожидать, что влияние второй звезды будет незначительным, а траектории планеты будут подобны орбитам «одной планеты возле одной звезды». Поэтому удобно рассматривать движение планеты в системе отсчета, связанной со звездами (неинерциальной, по нашей терминологии). Зададим начальные координаты и начальную скорость планеты в неинерциальной системе отсчета[18]:

.

В этом случае расстояние до ближайшей звезды . Если пренебречь влиянием второй звезды, то скорость движения по круговой орбите рассчитывается по формуле , в нашем случае , а вторая космическая скорость в раз больше, то есть . Поэтому имеет смысл рассчитать траектории именно в этом диапазоне начальных скоростей. Указанные скорости – это скорости планеты относительно ближайшей звезды. В подтверждение этих рассуждений приведем результат расчета траектории при . В нашей модели скорости задаются в неподвижной системе координат. Поскольку в этой системе координат скорость звезды равна 0.5 (помните, звезда вращается вокруг начала системы координат с угловой скоростью 0.5, расстояние между звездой и началом координат в постановке задачи принято за 1), при вводе начальной скорости планеты ее надо увеличить на 0.5. Как и следовало ожидать, траектория планеты очень незначительно отличается от окружности, кроме того, наблюдается уже знакомая нам прецессия орбиты рис. 13.16.

Можно посмотреть на это движение и из межзвездного пространства[19], то есть в инерциальной системе отсчета (рис. 13.17). При расчете в инерциальной системе отсчета базовый временной шаг был выбран равным 0.01. При этом параметр контроля вычисления энергии превысил значение 0.005 (см. рис. 13.17). Со временем накапливается ошибка в вычислении траектории - "спираль" траектории планеты растягивается. Можно предположить, что это связано с влиянием на планету второй звезды. Однако при базовом временном шаге равном 0.001 такого растягивания за тот же промежуток времени не наблюдается. Влияние второй звезды обнаруживается в прецессии орбиты.

Ничего неожиданного не встречается и при меньших значениях начальной скорости, окружность превращается в нечто, похожее на прецессирующий эллипс. При уменьшении начальной скорости уменьшается и минимальное расстояние до звезды.

Рис. 13.

Рис. 13.17

Если же увеличивать начальную скорость, то планета будет удаляться от своей звезды, поэтому влияние второй звезды начнет возрастать, что должно сказаться на форме орбиты и на увеличении скорости прецессии (рис. 13.18).

При дальнейшем увеличении начальной скорости траектории планет, во-первых, охватывают обе звезды, во-вторых, становятся неустойчивыми - малое изменение начальных условий серьезно изменяет вид траектории, примеры[20] - на рис.13.19 и 13.20. везд.

Рис.13.18

Рис. 13.19.

Рис. 13.20

Нам кажется, что провести какую-либо разумную систематизацию траекторий планет в таких условиях невозможно, потому ограничимся пояснением причин крайней неустойчивости и нерегулярности движения планеты.

1. Посмотрите еще раз внимательно на потенциальную поверхность, изображенную на рис. 13.4. В середине области между звездами эта поверхность напоминает горный перевал (более строго такая точка называется седловой). При переходе через эту область малое изменение характеристик движение планеты может приводить к радикальному изменению дальнейшего движения - например, планета может остаться в одной яме, или перескочить в другую. Наличие таких областей на потенциальной поверхности все приводит к появлению неустойчивостей[21].

2. При движении вблизи звезды механическая энергия планеты может изменятся весьма значительно, поэтому может резко изменяться и характер ее дальнейшей орбиты. Физическое объяснение возможного скачка энергии рассмотрим позднее на специальном примере (см. модель 14 «Космическая катапульта»).

3. Если отношение периодов обращения звезд и планеты является рациональным числом с небольшим знаменателем (например, 1:2, 1:3, 2:3, и т.д.), то на планету оказывает влияние периодическое возмущение, которое попадает в своеобразный резонанс с собственной частотой вращения планеты. Как вы знаете, малые периодические возмущения, попадающие в резонанс, могут приводить к весьма серьезным последствиям. Мы также рассмотрим отдельно этот эффект в разделе «Гармония небесных сфер?».

В рассматриваемой проблеме все указанные эффекты играют заметную роль, поэтому движение планеты в некоторых случаях становится практически непредсказуемым, чуть ли не хаотическим.

Заметим, что рассмотренные причины неустойчивостей являются физическими, реально существующими в действительности, поэтому можно говорить о физической неустойчивости.

Уравнения, описывающие движение, также являются неустойчивыми, однако, эта неустойчивость математическая - малое изменение параметров модели приводит к качественному изменению решения.

Наконец, мы решаем уравнения численно, приближенно, поэтому и методы решения оказываются неустойчивыми, только эту неустойчивость можно назвать вычислительной - малые ошибки, возникающие на каждом временном интервале, приводит к резкому возрастанию суммарной ошибки на последующих этапах.

Вот вам объяснение парадоксального результата, представленного на рис.13.12.

Таким образом, в область между звездами лучше не попадать, так как получить хорошо обоснованное решение в этой области крайне сложно.

Несколько убедительных примеров показаны на рис. 13.21, где изображены две траектории планеты при незначительно отличающихся начальных скоростях 0,35 и 0,34 (в системе отсчета связанной со звездами эти скорости равны -3,65 и -3,66, соответственно). Траектории построены в обеих используемых нами системах отсчета. В первом случае, проходя мимо одной из звезд, планета настолько увеличивает свою скорость, что удаляется на бесконечное расстояние от звезд. Во втором - попадает на одну из звезд.

Рис. 13.21

· Выполните эксперименты и получите траектории, изображенные на рис. 13.19, 13.20 и 13.21.

· Что изменится, если одна звезда будет больше другой в n раз?

[1] На самом деле планета и звезда движутся вокруг центра масс системы, однако если масса звезды значительно превышает массу планеты, то центр масс такой системы практически совпадает с центром звезды, поэтому звезда оказывается практически неподвижной.

[2] Рекомендуем внимательно разобраться с этим переходом от двумерного описания движения к одномерному - такие методы постоянно используются при описании движения в поле любых центральных сил.

[3] Это уравнение можно получить непосредственно из второго закона Ньютона. Для этого запишем это уравнение в виде

,

тогда в левой части оказывается проекция полного ускорения на радиальное направление.

[4] Случай слишком очевиден - планета падает на звезду по прямой, поэтому рассматривать его не будем.

[5] Мы не забыли о массе планеты, но в выбранной системе единиц она «исчезла» из уравнений.

[6] Сила Кориолиса появляется во вращающихся системах отсчета. Она направлена перпендикулярно вектору скорости (во вращающейся системе) и вектору угловой скорости системы отсчета. Те, кто не знаком с этой силой и «боится» ее, может безболезненно пропустить этот раздел, вернувшись к нему позднее.

[7] Признаемся честно, эти кривые получены при использовании более сложного и совершенного метода численного решения - метода Рунге-Кутта 4-го порядка, о котором вы можете почитать в любом учебнике или справочнике по численным методам.

[8] Еще одна аналогия: математическое выражение для силы Кориолиса подобно выражению для силы Лоренца, действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле. Надо ли вас убеждать, что движение такой частицы в присутствии магнитного поля будет сильно отличаться от движения без поля.

[9] Приемлемый для тех, кто не знаком с неинерциальными системами отсчета и не приемлет «фиктивных» сил инерции- центробежной и тем более Кориолиса.

[10] В нашей системе единиц угловая скорость вращения звезд вокруг общего центра масс .

[11] Полная аналогия: камень падает на поверхность земли, его импульс возрастает, однако суммарный импульс падающего камня и «налетающей на него Земли» остается неизменным - но учитывали ли вы когда-нибудь движение Земли навстречу камню?

[12] В данной задаче в качестве характерного времени поведения системы можно взять период обращения звезд. Учитывая, что угловая скорость их вращения равна 0,5, получаем, что период обращения равен .

[13] Приведенные ниже результаты расчетов траекторий получены при (если не специально не оговорено иное), при этом шаге, рассчитанное контрольное значение энергии изменялось менее, чем на 5%.

[14] На всякий случай уточним, при точном решении величина должна все время равняться нулю, однако, вследствие неизбежных погрешностей расчетов, она будет отличаться от нуля. Величина этого отклонения служит оценкой погрешностей расчетов.

[15] Учитывая, что в нашей системе единиц масса равна единице.

[16] И это далеко не полный перечень всех возможностей, например, можно решить эту же задачу в полярной системе координат.

[17] Случай слишком очевиден - планета падает на звезду по прямой, поэтому рассматривать его не будем.

[18] Задача содержит слишком много варьируемых параметров, поэтому мы ограничиваем ее анализ несколькими частными случаями, которые, тем не менее, в главном отражают характерные особенности проблемы.

[19] Не забудьте от согласовании начальных условий, о которых мы рассуждали ранее.

[20] Эти траектории рассчитаны при

[21] Даже в случае одномерного движения точка максимума потенциальной энергии - есть положение неустойчивого равновесия. Кроме того, вспомните наши рассуждения о характере движения системы при движении по сепаратрисе.