Расчет структуры осесимметричных стационарных

Реферат

Отчет о курсовой работе: 32 с.,10 рис., 1 табл., 3 приложения, 3 источника.

Объекты исследования — шарообразная плоскость в диэлектрической среде и прямоугольный волновод с волной Е₅₂.

Цель работы – расчет структуры полей проводящего шара в диэлектрической среде, а также в волноводе для приведенных в задании параметров.

Метод исследования – метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений для получения аналитических выражений потенциалов и напряженностей полей с последующим построением на ЭВМ структуры этих полей.

Для заданной геометрии и параметров среды получены аналитические выражения значений потенциалов и напряженностей полей внутри и вне шара, а так же выражение для расчета вектора электрической индукции вне шара. В случае волны Е₅₂ распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением 72х34 мм, путем интегрирования волнового уравнения и использования уравнений Максвелла получены соотношения, описывающие поведение поперечных и продольных компонент полей, а также выражения для расчета коэффициента распространения в волноводе и эквивалентного сопротивления . Построены картины структуры статических полей для шара и переменных полей для волновода. Рассчитано значения вектора электрической индукции вне шара в точке М и проанализированы полученные для волновода результаты.

Ключевыми словами в этой работе являются: поле, волна, коэффи­циент распространения, эквивалентное сопротивление, критическая частота.

Содержание

Реферат…………………………………………………………………………………3

Содержание……………………………………………………….…………………...4

Перечень условных обозначений, символов, единиц, сокращений и

терминов……………………………………………………...……………………….5

Введение………………………………………………………………………..……...6

1.Расчет структуры осесимметричных стационарных электромаг­­нитных полей

· Общее задание…………………………………………………………….........7

· Параметры задачи………………………………………………………………7

· Решение…………………………………………………………………………7

2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе

Общее задание………………………………...……………………………..........16

· Параметры задачи……………..………………………………………………16

· Решение……………..…………………………………………………………16

Выводы……………..…………………………………………..……………….........31

Перечень ссылок……………..………………………………………………………32

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение

Электромагнитное поле – это вид материи, определяемый во всех точках двумя векторными величинами, которые характеризуют две ее стороны, называемые соответственно электрическим полем и магнитным полем, и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы, зависящее от их скорости и заряда.

Основным математическим аппаратом при расчете электромагнитного поля является векторный анализ, который включает в себя понятия “скаляр”, ”вектор” и ”тензор”. В общем случае скаляры и векторы являются функциями координат точки и времени.

При анализе электромагнитного поля применяются линейные, поверхностные и объемный интегралы, а также дифференциальные операторы. Дифференциальные операторы позволяют сократить запись различных операций над скалярными и векторными величинами. Электромагнитное поле может самостоятельно существовать в виде электромагнитных волн в пустоте. Это свидетельствует о том, что оно является особой формой материи. В тоже время электромагнитное поле обладает энергией, массой и количеством движения, то есть характеристиками обычной формы материи. При распространении электромагнитного поля одновременно с движением потока электромагнитной энергии происходит движение массы поля и количества движения.

В одних случаях электромагнитное поле характеризуется непрерывным распределением в пространстве, а в других случаях обнаруживает дискретность своей структуры, проявляющуюся в виде квантов излученного поля.

Теория электромагнитного поля представляет собой учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления, и о вытекающих из них методах расчета.

Изучение видов полей (электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, магнитное поле постоянного тока, переменное электромагнитное поле) расширяет физические представления о поле, известные из курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических установках, а также важно с прикладной точки зрения, поскольку оно дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей, но и для решения задач, которые выходят за рамки данного курса и имеют самостоятельное значение.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

Электромагнитных полей.

Общее задание:

Осесиметричное тело радиуса r находится в однородном внешнем электрическом поле , перпендикулярном к его оси. Заданы характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов и и полей и соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить симейство эквипотенциальных линий в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела.

Найти вектор электрической индукции в точке М.

Параметры задачи:

Шарообразная плоскость в диэлектрической среде: r=4 см; =15 кВ/м; =1; =7. Координаты точки М: =5 см; =

Решение:

В данной задаче граничная поверхность- сфера, поэтому будем пользоваться сферической системой координат. Тогда - радиус-вектор точки наблюдения, ось z направлена вдоль приложенного электрического поля (рис. 1.1).

рис. 1.1

Внутри и вне шара сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на поверхности.

В данной задаче поле не зависит от координаты , поэтому поле будет описываться уравнением [1.560]:

(1.1)

Применим метод Фурье-Бернулли для решения уравнения (1.1):

(1.2)

Подставим (1.2) в (1.1), учтя что:

; (1.3)

Получаем:

(1.4)

Умножим (1.4) на :

(1.5)

В уравнении (1.5) первое слагаемое представляет собой функцию только , а второе слагаемое- функцию только . Сумма двух функций, из которых одна зависит от , а другая от , равна нулю для бесчисленного множества пар значений и . Это возможно тогда, когда каждая из данных функций равна нулю:

; (1.5')

или

; (1.5'')

Так как в (1.5') зависит только от , а от , то от частных производных можна перейти к полным:

;

Решаем эти уравнения:

1)

2)

Покажем, что =0, так как только в этом случае в решении отсутствует слагаемое . Потенциал- это непрерывная функция и на конечном отрезке он не может измениться на бесконечно большую величину. Таким образом, потенциал точек оси z вблизи шара не может быть равен бесконечности. Следовательно должно равняться нулю.

Тогда частное решение для , вытекающее с (1.5') :

, где , (1.6)

Найдем решение уравнений (1.5''):

;

Применим подстановку Эйлера:

;

Подставим производные в уравнение:

; ;

(1.7)

Значение найдем при интегрировании второго уравнения (1.5''):

=0, потому как j - функция парная, т.е. тогда N(ka)=Bcos(ka). Если принять, что потенциал на оси у равен 0 то , а соответственно, k=1. При k>1 нулевая потенциальная линия будет наклонена к оси у, что не соответствует изучаемому полю (потенциал равен нулю по оси z).

Таким образом решение уравнения можно записать в виде , убедимся в этом путем подстановки, найдем при этом :

; ;

=2

Подставим =2 в (1.7):

,

Совместное решение уравнений (1.5'') дает следующее выражение для :

(1.8)

где ,

Полное решение:

Полное решение подходит и для данной задачи. Таким образом потенциал внутренней области запишем:

(1.9)

Для внешней области:

(1.10)

Задача сводится к нахождению постоянных интегрирования. Для их нахождения необходимо учесть граничные условия на поверхности, а так же поведение потенциала на бесконечности.

Потенциал на бесконечности определим так [1.565]:

(1.11)

Сопоставим (1.11) с (1.10), получим:

;

Потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально . Поэтому есть составляющая потенциала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Суммарный заряд шара равен нулю, тогда =0. Выражение для записываем:

(1.10')

Рассмотрим выражение потенциала для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это возможно при и . Постоянная равна аналогичной постоянной для внешней области. Выражение для внутренней области:

(1.9')

Константы и найдем из граничных условий.

Из равенства потенциалов и , при следует:

(1.12)

Из равенства на границе следует:

;

Подставив и сократив на получаем:

(1.13)

Получаем систему уравнений (1.12) и (1.13):

;

Тогда потенциал внутренней области переписываем в виде:

(1.9'')

Для внешней области:

(1.10'')

Найдем напряженности поля в шаре и вне шара:

(1.14)

Вектор электрической индукции за пределами шара определяется формулой:

Проверим размерность полученного значения:

Составляем блок-схему и программу для расчета и построения эквипотенциальных линий. Текст программы и блок-схема приведены в приложении А. С помощью программы получен следующий результат(рис 1.).

Рисунок 1. – Изображение эквипотенциальных линий электрического поля.