Метод главного определителя

Область применения: для составления характеристического уравнения, справедливого в отношении любых токов и напряжений исследуемой схемы.

Основные положения: Составить схему свободной составляющей. Полагая сопротивление ёмкости равным , а индуктивности – , записать систему уравнений для этой схемы либо по законам Кирхгофа, либо по методу контурных токов, либо по методу узловых потенциалов. Главный определитель системы уравнений приравнять нулю. Полученное таким образом уравнение и будет характеристическим.

Пример 4: Составить характеристическое уравнение методом главного определителя для схемы (рис.1).

Решение: Составим схему свободной составляющей. Для получения характеристического уравнения воспользуемся методом контурных токов. Расчетная схема и контурные токи показаны на рис.5.

Рис. 5

Контурные уравнения имеют вид:

.

Приравняв главный определитель этой системы уравнений нулю, получим характеристическое уравнение.

.

После того, как получено характеристическое уравнение, находят корни этого уравнения и записывают выражение свободной составляющей искомого тока. Это выражение зависит от вида корней характеристического уравнения.

а) Все корни имеют кратность равную 1, т.е. среди n корней характеристического уравнения n-й степени нет равных.

,

где –неизвестные постоянные интегрирования,

– корни характеристического уравнения. Приведенное выражение для справедливо как для действительных корней р, так и для комплексных. Если среди n корней имеются комплексные корни (таких корней всегда четное количество и они попарно комплексно-сопряженные ), то пользоваться таким выражением неудобно.

б) Все корни имеют кратность 1, и среди n корней имеется, например, пара комплексно-сопряженных

или

.

В последнем выражении A и Ψ являются постоянными интегрирования.

в) Все корни действительны, и среди n корней имеются равные (кратные). Пусть корень p₁ имеет кратность, равную m, т.е. p₁=p₂=….=p_m,а остальные – кратность, равную 1, тогда:

.

Расчет начальных условий

Если схема n-го порядка, то свободная составляющая тока или напряжения содержит n постоянных интегрирований, для определения которых необходимо иметь n начальных условий, соответственно, либо значения тока и его производных до n-1 порядка в момент коммутации , либо значения напряжения и его производных до n-1 порядка в момент коммутации .

Начальные условия условно делят на две группы:

а) независимые начальные условия (ННУ),

б) зависимые начальные условия (ЗНУ).

Независимые начальные условия - значение тока на индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации, т.е и .

Зависимые начальные условия – значения токов (кроме ) и их производных любого порядка и напряжений (кроме ) и их производных любого порядка в момент коммутации.

a) Расчет независимых начальных условий и .

Расчет ННУ проводят на основе анализа режима работы схемы (установившегося или переходного) до коммутации, а именно: рассчитывают и в соответствующем режиме по схеме до коммутации и в полученные выражения подставляют ( в выражениях для и означает, что и – законы изменения соответственно тока на индуктивности и напряжения на емкости до коммутации, – момент коммутации). В результате получаем значения и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, т.е и .

На основании законов коммутации

и – значение, соответственно, тока на индуктивности и напряжение на емкости в момент окончания коммутации (длительность коммутации ).

Если учесть, что за начало отсчета времени принимают момент коммутации, то искомые НЗУ

Законы коммутации:

· Ток на индуктивности – непрерывная функция,

· Напряжение на ёмкости – непрерывная функция

или

для любого значения t.

б)Расчет зависимых начальных условий

либо

.

Процедуру расчета ЗНУ представим в виде некоторого циклического алгоритма.