Строение минимальных нормальной подгрупп конечной группы

Определение 1.1.8. Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка р.

Теорема 2.3.1. Пусть и . Тогда K — про­стая подгруппа и существуют элементы такие, что . Кроме того:

1) если N абелева, то для некоторого простого р и N — элементарная абелева р-группа;

2) если N неабелева, то каждая минимальная нормальная в N подгруппа принадлежит множеству .

Доказательство. Пусть и . Ясно, что L является нормальной подгруппой группы G. Так как для всех , то , поэтому . Поскольку — минимальная нормальная подгруппа в N, то по лемме 1.2.4. существуют элементы такие, что . Из леммы 1.2.1 следует что подгруппа K простая.

1. Пусть N абелева. По теореме 6.5, с. 63, подгруппа K имеет простой порядок. Пусть . Тогда N — элементарная абелева p-группа порядка .

2. Пусть N неабелева. По теореме 1.2.3. каж­дая минимальная нормальная в N подгруппа принадлежит множеству .

Следствие 2.3.1. Минимальная нормальная подгруппа группы является характеристически простой группой.

Следствие 2.3.2. Минимальная нормальная подгруппа группы либо элементарная абелева р-группа для неко­торого простого р, либо является прямым произведе­нием изоморфных простых неабелевых групп. □

Лемма 2.3.1. Пусть , . Если , , то существуют элементы такие, что .

Доказательство.

Так как для любого , то . Полагая из леммы 1.2.4. для группы H и ее нормальной подгруппы N получаем, что существуют элементы такие, что .

Заключение

В данном реферате были выполнены следующие задачи:

· Рассмотрены основные определения теории групп и центральные теоремы (определение группы, нормальной подгруппы, простой подгруппы, элементарной абелевой p-группы и другие; теорема Лагранжа, теорема о гомоморфизмах и другие).

· Изучены простейшие свойства минимальных нормальных подгрупп.

· Рассмотрены характеристически простые группы и их строение.

· Исследовано строение минимальных нормальных подгрупп конечных групп.

Список литературы

1. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.

3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

6. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.

7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.