Элементы поведения функции
Ограниченные величины и функции.Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число
, что все значения
попадают в интервал
. Иными словами, для всех значений
выполняется неравенство
Для функции ограниченность означает выполнение неравенства
(*)
при всех из области определения. Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми
(рис. 7)
y M
![]() |
x
![]() |
-M
Рис. 7
Так, например, ограниченная функция, так как
при всех
.
Иногда говорят об ограниченности функции лишь на некотором интервале, являющемся частью области определения; это значит, что условие (*) выполняется для рассматриваемого интервала; число может зависеть от взятого интервала.
Пример. - функция, не являющаяся ограниченной. В самом деле, какое бы
мы не взяли, для тех
, для которых
будет выполняться неравенство
(рис.8).
y
x
0 x
Рис. 8
В то же время на любом интервале
эта функция ограничена:
(рис.9). Число
зависит от этого интервала.
y
M
-x 0
x
-M
Рис. 9
Возрастание и убывание функций на интервале.Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.10).
![]() |
y
x1 x2
x
Рис.10
1. Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.11).
y
0 x1 x2
x
Рис. 11
Запишем эти определения с помощью логических символов - кванторов: для интервала - условие возрастания;
- условие убывания.
Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.
Пример 10. (рис.12). Интервалы монотонности: на
функция убывает; на
функция возрастает.
y
![]() |
x
0
Рис.12
Четные и нечетные функции.Пусть задана функция с областью определения
. Функция
называется четной, если выполняется условие
функция называется нечетной, если
Примеры:
1. . Область определения
симметрична относительно начала координат
. Функция четная.
2. . Область определения
. Функция нечетная.
3. . Область определения
(два интервала) симметрична относительно начала координат (множество всех действительных чисел с выброшенным нулем).
. Функция нечетная.
4. Из тригонометрии известно, что - нечетные функции;
- четная функция.
5. Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Действительно, наряду с точкой график содержит точку
, так как
, точка
имеет координаты
. Точки
и
оказались симметричными относительно оси ординат (рис. 13).
y
![]() |
x
-x o x
Рис. 13
Таким образом, наряду с произвольной точкой график четной функции содержит и точку, симметричную ей относительно оси ординат, а значит, и весь график четной функции симметричен относительно оси
(рис.14).
y
![]() | ![]() | ||
Четная функция
![]() |
0 x
Рис. 14
Рассуждая аналогичным образом, можно установить, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.15).
y
0 x
![]() |
Рис. 15
Примеры:
1. ; Пусть
и
, тогда,
т.е.
и
. Значит, рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.
2. Пусть
и
, тогда
, т.е.
и
. Таким образом, эта функция является функцией общего вида.
Период. Периодические функции.Число называется периодом функции
с областью определения
, если
Функция , обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым
и
Если число - период функции
, то и любое целое, кратное
, т.е. число
где
будет периодом
. Например,
, т.е.
- период;
, т.е.
тоже период . В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.
Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функций и
равны
, а периоды
равны
.
График периодической функции с периодом достаточно построить на
каком-либо интервале с длиной, равной периоду, а затем построенную часть графика сдвигать вдоль оси на
и т. д. (рис. 16).
y
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0l x
Рис.16
Пример.Периодична ли функция (показательная)? Допустим, что периодична. Тогда
, при этом для любого
; отсюда
.
Это противоречит нашему предположению о существовании периода, значит, предположение неверно. Функция не является периодической.
1.3.1. Сложная функция (функция от функции).Пусть дана функция от аргумента
, причем аргумент
, в свою очередь, является функцией от независимой переменной
:
Возьмем какое-либо значение . В силу функциональной зависимости
от
этому значению
отвечает определенное значение
:
. Полученному значению
, в свою очередь, отвечает определенное значение
(рис.17)
y
x
tt
![]() |
Рис.17
На рис. 17 переменные откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению
соответствует определенное значение
, т.е. переменная
оказалась функцией независимой переменной
.
Получаем . Функция
называется сложной функцией от независимой переменной
или функцией от функции (функция
от функции
). При этом функция
называется заданной или внешней функцией, а
- промежуточным аргументом. Функции
и
называют еще составляющими для сложной функции
; говорят также, что
является суперпозицией функций
и
. Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной
"укладывалась" в область определения заданной функции
(рис.18). В противном случае среди значений функции
будут и такие, от которых значение функции
образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной
, для которых значения промежуточной переменной
попадают в область определения внешней функции
.
y
Область определения функции
x
Область значений функции
t
Область определения функции
Рис.18
y
? Область значений функции
x
Область определения функции
t
Область определения функции
Рис.19
Примеры:
1. .Область значений промежуточной переменной
- отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции
[ее область определения
]. Поэтому сложную функцию
можно образовать только для тех значений аргумента
, для которых
.
2. .Здесь область значений промежуточного переменного
, а область определения внешней функции
.Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций
и
] нельзя.
Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.
Примеры:
1. у = x3; x = sint, t = 3w + l; у = F(w) = (sin(3w + l))3 - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.
2. .
1.3.2. Обратная функция.Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y . Согласно определению функции каждому значению
соответствует определенное значение
.Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждомузначению
отвечает одно вполне определенное значение
, для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между
может рассматриваться и как функция
, т.е.
можно рассматривать как аргумент, а
- как функцию. У функции
областью определения является Y , а областью значений - X . Функции
и
называются взаимно обратными
обратная функция к функции
;
- обратная функция к функции
. Уравнение
получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения
относительно переменной
.
Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества (рис.21)
Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x):ведь уравнение
- просто иначе переписанное уравнение у = f(x) .
Рис. 20 Рис. 21
Примеры:
1. - обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2х является
, этот же интервал является областью значений обратной функции
. Областью значений функции
служит интервал
, он же является областью определения для
(рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что
- возрастающая функция на всей числовой оси.
2. (рис.17).
Рис.22 Рис.23
Функция несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является
, а не
и значением функции служит
, а не
. Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией
рассматривают функцию
, которую также называют обратной функцией к функции
. Функция
получается из
переменой ролей
и
:
обратные функции к
Примеры:
1.
обратные функции к
2.
![]() |
обратные функции к
График обратной функции симметричен графику функции
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и
.
Рис.24 Рис.25
1.3.3.Неявные функции.Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х иу, но нерешенным ни относительно у, ниотносительно х. Например, уравнение прямой Правда, его очень просто решить относительно у:
, и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у , не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение
. Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х , она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например,
- уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса
). Здесь можно явно выразить у через х :
, но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса
заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как
где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.
1.3.4. Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):
Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную:
. [т.е. решаем уравнение
относительно
]. Поставив это во второе уравнение, получим:
т.е. у есть функция от х (сложная функция).
Примеры:
1)
2)
параметрические уравнения: 1) окружности радиуса , 2) эллипса с полуосями а и b .
Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
2. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
3. Четность, нечетность функция
4. Период и периодичность функции
5. Операции над множествами, их свойства
6. Область определения произведения и суммы функции
Литература:
Основная [2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64
Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
[19] 2.1-2.4 стр. 138-162