Динамічних схемотехнічних моделей радіоелектронних пристроїв

Динамічний режим у схемі виникає під дією змінних у часі сигналів, які подаються ззовні або виробляються в самій схемі.

5.1. Явна форма моделі

(22 а,б)

( 22 а ) – нормальна система звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР).

5.1.1. Методика одержання нормальної форми ЗДР

Нехай є системи компонентних та топологічних рівнянь, причому компонентними рівняннями реактивних елементів служать диференціальні залежності:

(23)

1-й етап. На основі законів Кірхгофа змінні I_C, U_L записують через струми та напруги інших віток:

(24)

2-й етап. I_C та U_L заміняються похідними, згідно з (23), законів К. та компонентних рівнянь і передаються через I_L та U_C. Одержимо нормальну систему:

– нормальна система.

Приклад.

1-етап: i_C = i_R-I_L , U_L=U_C

2-й етап: U_R=R*i_R

Остаточно отримаємо:

Цей метод ще називається методом змінних стану.

Ємнісні контури та індуктивні зірки – топологічні виродження, так як одна з ємностей контуру ( ) або одна з індуктивностей зірки ( ) не може бути використана для одержання незалежного диференціального рівняння. N=N_C+N_L-N_T – порядок нормальної системи, де N_T – кількість топологічних вироджень.

Приклад.

N = 4

Виродження усувається під’єднанням до ємнісного контуру малого опору R або паралельно до індуктивності – малої провідності G. Розрахунки ускладнюються, оскільки потрібно розв’язати ще рівняння на зразок (22 б).

5.1.2. Організація розрахунку моделі схеми в явній формі

(22 а) та (22 б) розраховуються довільними числовими методами. Організація розрахунку (22 а,б) полягає в почерговому розв’язку системи (22 а) та (22 б). Нехай зі статичного режиму відомі та . Тоді:

1) підставляючи та в (22 а) і розв’язуючи її будь-яким чисельним методом, визначаємо та ,

2) вважаючи та , постійними джерелами струму та напруги розраховуємо квазістатичний режим, тобто (22 б) і визначаємо . Потім знову переходимо до п.1.

Приклад.

(а,б)

Нехай відомі , . Тоді з (а) знайдемо . Підставимо в рівняння (б) і знайдемо , , . Маючи та , можемо знову розв’язати (а) відносно і т.д.

Основні числові методи розв’язку системи ЗДР

, – початкова умова. (25)

У результаті розв’язку одержимо: ,

(26)

Найпростішим методом розв’язування (26) є узагальнений двоточковий метод:

, (27)

При а=1 – явний метод Ейлера:

При а=0 – неявний метод Ейлера:

При – метод трапецій:

Приклад.

, Нехай

Тоді явний метод: ,

У неявниму методі:

Неявний метод дуже стійкий, явний має обмеження на крок інтегрування .

5.2. Неявна форма математичної моделі

У загальному випадку маємо:

, i=1,2,..,n (28)

Використаємо кінцево-різницеві апроксимації (дискретизація).

, (29)

Отже, від системи (28) переходимо до системи кінцево-різницевих алгебраїчних рівнянь:

(30)

Операції (29) – дискретизація. Підстановка (29) в (28) і одержання (30) – алгебраїзація.

Дискретизація і алгебраїзація – суть побудови моделі в неявній формі.

Одержана модель (30) розв’язується відносно довільним числовим методом (наприклад методом Ньютона):

(31)

, - матриця Якобі. Процес повторюємо, поки не пройдемо весь інтервал А.

Особливості неявної форми моделі схеми

1.Немає числового методу розв’язку (типу (26))

2.Система (28) – змішана ( , , і т. д.)

3.Система (28) не накладає обмежень на тип змінних ( ).

5.2.1.Розрахунок неявної форми моделі схеми в базисі вузлових потенціалів.

Рівняння компонентів повинні мати вигляд , тобто

, (32)

Здійснивши операції дискретизації (в неявному методі) формул (32) (див. розділ 3.1. та рис.(3-4)), одержимо:

У загальному випадку ці формули мають вигляд:

(33)

У базисі вузлових потенціалів теоретична модель схеми для алгоритму (31) має вигляд:

(34)

При формуванні вектора струмів в (34) кожне з рівнянь для (33) розглядається як рівняння струму відповідної вітки. При цьому , Замінюємо через різниці потенціалів, а , ...вважаємо відомими. При формуванні матриці вузлових провідностей G внесок ємнісної вітки дорівнює , індуктивної – з відповідними знаками.

Таким чином, у базисі вузлових потенціалів формування моделі схеми (34) для розрахунку перехідних процесів не відрізняється від формування моделі (21) для розрахунку статичних режимів.

Приклад.

,

;

;

Матриця вузлових струмів має вигляд

Матриця вузлових провідностей має вигляд

5.3. Моделювання частотних характеристик

Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ):

Способи розрахунку АЧХ:

1. Аналітичний: , де M,N – многочлени;

2. Моделювання АЧХ на ЕОМ. При цьому є символьний підхід (коефіцієнт многочленів у вигляді формул) та чисельний підхід (розраховуються чисельні значення при різних ).

Метод вузлових потенціалів дозволяє формувати вузлові рівняння і для частотної області. Методика та ж сама, змінюються лише компонентні рівняння реактивних віток, а саме:

, (35)

Відповідно провідності реактивних віток дорівнюють

, (36)

Формула (35) використовується при формуванні вектора вузлових струмів, а (36) – при формуванні матриці вузлових провідностей. У схемі заміщення джерела напруги Е закорочуються, а джерела струму I – розмикаються. Одержимо вузлове рівняння лінійної схеми в частотній області:

(37)

Рівняння (37) на кожній частоті треба розв’язувати тільки один раз (на відміну від (34)).

Підставляючи в (37) різні і вираховуючи , одержимо комплексну частотну характеристику РЕП.

Якщо треба розрахувати характеристику в k-му вузлі схеми, на кожній треба вибрати з вектора комплексне значення потенціалу і розрахувати АЧХ і ФЧХ у вузлі “k” за формулами

, (38)