Визначник третього порядку

Визначник другого порядку

Якщо порядок матриці , тобто матриця має вигляд:

.

то визначник матриці матиме вигляд:

.

Приклад.Обчислити визначник:

.

Розв’язання.

.

Відповідь. .

Визначник третього порядку

Формула для обчислення визначника третього порядку

Правило трикутників:

Правило Саррюса (правило приписування стовпців):

2.4 Властивості визначників

1. Визначник не змінюється в результаті тран­спонування.

2. Якщо один із рядків (стовпців) визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці) визначника, то його знак зміниться на протилежний.

4. Визначник, який має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.

5. Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

Наслідок: спільний множник елементів рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

6. Визначник, який має два пропорційні рядки (стовпці), дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи довільного іншого рядка (стовпця), попередньо помножені не деяке число.

9. Визначник добутку матриць рівний добутку визначників матриць.

Приклад.Обчислити визначник за допомогою правила трикутників і правила приписування стовпців:

.

Розв’язання.

Обчислимо визначник за допомогою правила трикутників.

.

Тепер обчислимо визначник за допомогою правила приписування стовпців.

.

Відповідь. .

2.5 Мінори та алгебраїчні доповнення

Розглянемо визначник -го порядку. Викреслимо в ньому елементи -го рядка і j-го стовпця. Помітимо,що на їх перехресті міститься елемент .

Мінором елемента визначника -го порядку, називається визначник -го порядку, який складається із не викреслених елементів визначника.

Наприклад, мінором елемента визначника третього порядку (викреслюємо 3-ій рядок 2-ий стовпець)

буде визначник другого порядку

.

З поняттям мінора зв’язане поняття алгебраїчного доповнення.

Алгебраїчне доповнення елемента дорівнює мінору того ж елемента, якщо – число парне, і дорівнює , якщо – число непарне.

.

Приклад.Обчислити , , , , якщо заданий визначник третього порядку:

.

Розв’язання.

Для того, щоб знайти , потрібно у визначнику викреслити перший рядок і другий стовпець, тоді:

.

Алгебраїчне доповнення від мінора буде відрізнятись лише знаком. Дійсно - число непарне, тому

.

Знайдемо мінор , викреслюємо у визначнику третій рядок і перший стовпець:

.

Зразу помітимо, що - число парне, тому

.

Відповідь. , , , .

2.6 Визначники вищих порядків

Визначник матриці 𝑛-го порядку рівний сумі добутків елементів однієї стрічки чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Запис визначника -го порядку через алгебраїчні доповнення -го порядку називають розкладом по -ій стрічці чи -му стовпцю.

Для визначника третього порядку існує шість формул обчислення детермінанту (три рядка + три стовпця). Наприклад,розглянемо визначник за елементами другого рядка.

.

А тепер розкладемо визначник за елементами третього стовпця.

.

Таким чином, щоб обчислити визначник третього порядку можна використати правило трикутників, правило приписування стовпців і правило розкладання за елементами якого-небудь рядка (стовпця).

Визначники порядку вище третього можна обчислити тільки по правилу розкладання за елементами рядка (стовпця). Цей метод дає можливість обчислення визначника -го порядку звести до обчислення -го порядку. Очевидно, що обчислення визначника можна скоротити, якщо розкладати його за елементами рядка (стовпця), у якого деякі елементи дорівнюють нулю.

Розглянемо «метод утворення нулів».

Він ґрунтується на використанні властивості 8.

Приклад.Утворити нулі в якому-небудь рядку (стовпцю).

.

Розв’язання.

Помітимо, що простіше утворювати нулі в тому рядку (стовпцю) де маємо елемент 1 (або ). Виберемо перший стовпець.

Елементи першого рядка помножимо на і відповідно додамо до елементів другого рядка (значення визначника не зміниться):

.

Потім перший рядок помножимо на і додамо до елементів третього рядка:

.

І, нарешті, перший рядок помножимо на і додамо до елементів четвертого рядка:

.

В першому стовпці одержали три нулі. Зрозуміло, що розкривати визначник зручно за першим стовпцем.

Приклад.Обчислити визначник:

.

Розв’язання.

Цей приклад можна розв’язати двома способами. Перший: вибрати рядок або стовпець,бажано де є нуль і розкласти за вибраним рядком (стовпцем). Можна вибрати 1-й, 2-й, 3-й рядки або 1-й, 2-й, 3-й стовпці. Другий спосіб: утворити в якому-небудь рядку (стовпці) якнайбільше нулів і розкласти визначник по цьому рядку (стовпцю). Розглянемо обидва способи.

І спосіб. Розкладемо визначник, наприклад, за третім рядком:

.

ІІ спосіб. Виберемо перший стовпець і утворимо в ньому нулі.

{елементи першого рядка помножимо на і додамо до елементів третього рядка}

{елементи першого рядка помножимо на і додамо до елементів четвертого рядка}

.

А тепер розкладемо визначник за першим стовпцем:

.

Відповідь. .

Завдання для самоконтролю

1. Чим відрізняється поняття матриці від поняття визначника?

2. Чи може матриця порядку мати визначник?

3. Що буде з визначником, якщо поміняти місцями два рядка?

4. Що таке мінор ?

5. Чим відрізняється мінор від алгебраїчного доповнення ?

6. За яким правилом обчислюються визначники, які мають порядок вище третього?

7. Обчислити визначники другого порядку матриць:

7.1 ;

7.2 ;

7.3 ;

7.4 .

8. Обчислити визначники третього порядку матриць:

8.1 ;

8.2 ;

8.3 ;

8.4 .

9. Розв’язати рівняння та нерівності:

9.1 ;

9.2 .

10. Обчислити визначники завдання 8, використовуючи формулу розкладу визначника за елементами рядка чи стовпця.

11. Обчислити визначники четвертого порядку, використовуючи формулу розкладу визначника за елементами рядка чи стовпця:

11.1 ;

11.2 ;

11.3

11.4 .