Ример 8. Логистический закон развития.

инейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (3.1)

где , - заданные функции времени .

Если при всех , то уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (3.1) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Прежде чем решать уравнение (3.1) отметим свойство линейных однородных уравнений. Пусть и - решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Действительно, подставив в (3.1) получим:

Рассмотрим однородное уравнение

. (3.2)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде:

или .

Учитывая, что , имеем: .

Интегрируя обе части последнего выражения, получим:

, , ,

. (3.3)

Формула (3.3) дает решение уравнения (3.2) с начальным условием .

Пример 4. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Пусть начальная популяция . Какой будет популяция после 12 ч. роста?

Решение: По условию удельная скорость равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем:

.

, .

Размер популяции после 12ч. роста выражается величиной

.

Пример 5. Модель сезонного роста.

Дифференциальное уравнение первого порядка , где - положительная постоянная, можно рассматривать как простейшую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает, то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Заметим, что здесь .

Так как , то общее решение записывается в виде: .

Полагая , получим , т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , , ,…, когда . Минимальный размер, равный , достигается при , , ,…, когда . В этой модели размер популяции колеблется от до с периодом . Моменты времени , , ,… можно считать серединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов),а моменты , , ,… соответствует серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует ед. времени.

ис. 2.1

Исследуем теперь неоднородное уравнение(3.1). Будем искать решение (3.1) в виде:

, (3.4)

где , неизвестные дифференцируемые функции.

Учитывая, что из уравнения (3.1) получим:

.

Или

. (3.5)

Будем считать, что , то есть .

С учетом этого, уравнение (3.5) примет вид:

. Или .

Интегрируя это уравнение, получим:

,

где с - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения (3.1) имеет вид:

. (3.6)

Определение 3. Функция называется интегрирующим множителем для уравнения (3.1)

Пример 6. Внутривенное питание глюкозой.

Рассмотрим лечебную процедуру состоящую в вливании глюкозы в кровеносную систему. Пусть - количество глюкозы в крови пациента в момент времени . Допустим, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин.). В то же время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

, (3.7)

где - положительная постоянная. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида (3.1) при и .

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде: .

Умножив последнее уравнение на интегрирующий множитель , и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, получаем:

,

где - постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение (3.7) имеет вид:

. (3.8)

Если известна начальная концентрация глюкозы в крови , то из (3.8)имеем:

.

Значит, общее решение может быть записано в виде:

. (3.9)

Из (3.9) следует, что с увеличением времени содержание глюкозы в крови приближается к числу , которое есть равновесное количество глюкозы в крови.

Пример 7. В популяцию людей большой численности занесено инфекционное заболевание. Доля людей, перенесших заболевание, возрастает со временем. Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за лет после ее возникновения в популяции, и пусть

.

Найдите , если . За сколько лет доля переболевших достигнет ?

Решение:Запишем уравнение в виде:

.

Умножив на и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, находим:

. или .

Учитывая, что имеем: .

Таким образом .

Пусть - время, при котором доля переболевших людей достигнет , т.е.

.

Отсюда находим:

; ; ; .

Таким образом, доля переболевших людей достигнет через 7 лет.

2.2. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка:

метод разделения переменных

Общий вид нелинейного уравнения следующий:

, (3.10)

где - заданная непрерывная функция.

Биологическая интерпретация уравнения (3.10) заключается в том, что скорость роста популяции является функцией времени и размера популяции. В общем случае не удается отыскать формулу, дающую в явном виде решение уравнения(3.10). Однако имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Одним из таких уравнений является уравнение с разделяющимися переменными.

Будем говорить, что переменные и в уравнении (3.10) разделяются, если:

,

где - представляет собой функцию только от , а - функцию только от . В этом случае уравнение (3.10) записывается в виде:

. или . (3.11)

В такой форме левая часть интегрируется по переменной , а правая часть интегрируется по переменной . Выполняя эти два интегрирования, приходим к общему решению

. (3.12)

Если и достаточно простые, то можно найти эти интегралы и получить общее решение в явном виде.

ример 8. Логистический закон развития.

Скорость роста популяции в расчете на одну особь представляет собой разность между средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что средняя рождаемость выражается положительной постоянной , не зависящей от времени и размера популяции . Допустим также, что средняя смертность пропорциональна размеру популяции и поэтому равна , где - положительная постоянная. Это увеличение смертности с ростом популяции может происходить за счет конкуренции за доступные пищевые ресурсы.

В данном случае, популяция подчиняется уравнению .

Или

. (3.13)

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, имеем:

.

Учитывая, что

имеем:

; ;

; ; .

Разрешая последнее уравнение относительно , находим:

;

. (3.14)

Если есть размер начальной популяции, то

; ; .

Подставив последнее в(3.14), получим:

. (3.15)

Процесс роста, описываемый функцией (2.15) называется логистическим ростом, а уравнение (2.13)- логистическим уравнением.

При логистическом росте популяции с увеличением времени популяция приближается к предельному (равновесному) размеру, равному . То есть размер равновесной популяции прямо пропорционален средней рождаемости и обратно пропорционально средней смертности на одну особь.