Оценка точности функции измеренных величин

На содержание этого раздела следует обратить особое внимание и учесть порядок определения СКП функции, вычисляемой по измеренным величинам (аргументам) с СКП, связанными с искомой величиной функционально.

Функция задана в общем виде:

,(3.5)

где – аргументы, полученные из измерений с СКП .

СКП функции вычисляется по формуле:

, (3.6)

где – частные производные функции по каждому аргументу.

Порядок вычисления СКП функции общего вида следующий:

1) составляем функцию, связывающую оцениваемую величину с измеренными величинами, например (объем цилиндра):

,

где – радиус основания цилиндра;

– высота цилиндра.

Объем цилиндра является функцией двух аргументов – радиуса и высоты, а – постоянная;

2) применяя формулу (3.6), записываем СКП V в общем виде:

;

3) находим частные производные:

, ;

4) полученные выражения частных производных подставляем в формулу СКП функции:

;

5) в соответствии с условием задачи в полученную формулу подставляем числовые значения аргументов и их СКП и вычисляем величину .

Решение задач

Пример 3

Пусть проложен висячий теодолитный ход. Горизонтальные углы хода измерялись независимо друг от друга в одинаковых условиях с СКП . Найти СКП дирекционного угла последней линии рассматриваемого хода. При этом будем считать величиной безошибочной.

Решение

Для определения погрешности дирекционного угла последней линии,прежде всего, необходимо представить этот дирекционный угол как функцию исходных и измеренных величин. Так как были измерены правые по ходу углы, искомый дирекционный угол может быть вычислен по формуле

На основании формулы (3.6) для СКП дирекционного угла последней линии хода можно записать

.

Получим

,

или

Окончательно можно сделать вывод, что при передаче дирекционных углов случайные погрешности накапливаются пропорционально корню квадратному из числа измеренных горизонтальных углов.

Пример 4

Для получения горизонтального проложения линии на плане определены координаты концов этой линии, что дало результаты , и , . Эти величины получены со СКП и , и . Необходимо вычислить горизонтальное проложение между этими точками и его СКП.

Решение

Горизонтальное проложение между точками определяют по формуле:

Применим формулу (3.6) и вычислим частные производные по всем координатам:

.

Аналогично:

.

Тогда СКП горизонтального проложения определяется формулой

.

При условии, что , будем иметь:

,

или

Пример 5

Для получения дирекционного угла направления между точками на плане определены координаты концов отрезка, соединяющие эти точки ( , ; , ). Эти величины получены с СКП и , и . Необходимо вычислить дирекционный угол направления и его СКП.

Решение

Дирекционный угол направления вычисляют по формуле:

,

где , , , – координаты концов отрезка.

Согласно (3.6) необходимо вычислить частные производные по всем координатам:

Окончательно:

Аналогично найдем частные производные по остальным координатам:

.

.

.

СКП дирекционного угла определяется формулой

,

где - радианная мера угла в секундах, равная 206265".

При условии, что , будем иметь:

.

Пример 6

Вычислить приращения координат и их СКП по линии длиной 250,17 м, имеющей дирекционный угол 63°27,0', если и ,0'.

Решение

Известно, что приращения координат , рассчитывают по формулам и , что дает результаты и . СКП приращений координат могут быть получены из соотношений

,

.

Найдем :

Тогда

;

.

При вычислениях величина должна быть представлена в радианной мере, но в условии задачи она задается в градусной мере. С учетом этого предыдущие формулы примут вид

;

.

Подставив соответствующие значения величин, получаем

Окончательно

Задача 3

Найти СКП превышения, полученного из геометрического нивелирования методом из середины по черным сторонам реек, принимая СКП отсчета по рейке равной 1 мм.

Задача 4

Линия теодолитного хода измерена частями с СКП м, м, м. Определить СКП длины линии .

Задача 5

Определить СКП превышения, вычисленного на станции геометрического нивелирования методом из середины по черным и красным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке =1мм.

Задача 6.

Вычислить превышение, полученное тригонометрическим нивелированием, и его предельную погрешность, если расстояние, измеренное нитяным дальномером D =210,5м с СКП м; угол наклона визирной оси при визировании на верх рейки ν = …… (см. приложение табл. 2) с СКП ; высота прибора I = 1,30м с СКП м; длина рейки V = 3,00м с СКП м.

Задача 7.

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике AВС были измерены: базис AС = 84,55м
с СКП базиса м; углы A = 56°27,0' и С = 35°14,0' со СКП, равной = 0,5'.

Вычислить расстояние АВ и ее СКП.

Задача 9.

В треугольнике измерены основание и высота с погрешностями, соответственно равными и . Найти СКП площади треугольника.

Задача 10.

В треугольнике измерены две стороны и и угол между ними с СКП, соответственно равными , и . Найти СКП площади треугольника.