С неоднородностями в уравнении

ИЛИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Будем рассматривать смешанную задачу

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и будем искать ее решение в виде суммы двух функций

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),

которые находятся из решения более простых задач. Функция v(x,t) удовлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми граничными и начальными условиями

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Соответственно функция w(x,t) есть решение смешанной задачи

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Нам нужно решать только штрихованную задачу (43¢) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (45¢), посколь- ку задача (43¢¢) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (45¢¢) совпадает с уже решенной в § 1 смешанной задачей (31) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (33), и следовательно (см.(40) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (42))

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (46)

Функцию v(x,t) следует разыскивать в виде ряда по собственным функ-

циям задачи (7-8) Штурма с неоднородностями в уравнении - student2.ru Лиувилля:

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (47)

где vk(t)нужно определить, используя соотношения(43¢) и (45¢). Гранич-ные условия (44¢) для функции v(x,t), очевидно, выполнены.

В свою очередь функцию f(x,t) разложим в ряд Фурье так, что

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Подставляя (47) и (48) в (43¢) получаем тождество

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и, стало быть, при всех t

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (49)

После подстановки (17) в (14¢) найдем начальные условия для функций

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (50)

Линейное дифференциальное уравнение (49) с присоединенными к нему начальными условиями (50) образуют стандартную задачу Коши, решение которой существует и единственно при данном k . Более того, нетрудно проверить, что решение задачи (49) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (50) дается формулой

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и подставляя ее в (48), получим решение штрихованной задачи

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (51)

Складывая (46) и (51), найдем решение исходной задачи (43) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (45).

Теперь займемся смешанной задачей для неоднородного уравнения с неоднородными граничными условиями

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Простой прием позволяет свести данную задачу к уже исследованной задаче (43) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (45). Действительно, и на этот раз полагая

u(x,t) = v(x,t) + w(x,t),

где v(x,t)новая неизвестная функция, перейдем к задаче

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Мы не уточняем конкретные выражения функций с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru , но ясно, что они находятся через с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru Возьмем теперь функцию w(x,t)такой, чтобы выполнялись соотношения

с неоднородностями в уравнении - student2.ru (55)

нам подойдут в частности

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

При выполнении условий (55) штрихованная задача (52¢) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (54¢) переходит в уже решенную задачу (43) с неоднородностями в уравнении - student2.ru (45).

174.Жестко закрепленный в точке х=0 стержень l находится в состоянии покоя. В момент t=0 к его концу x=l приложена сила Q, действующая

вдоль стержня. Найти смещение точек стержня u(x,t) при t>0.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

где Е – модуль упругости; и d - площадь поперечного сечения стержня.

Здесь нужно сделать замену

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

тогда неоднородность переместится в начальные условия и функция v(x,t)будет решением простейшей смешанной задачи

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Как и при решении задачи 145, найдем, что

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и подставляя ряд в первое начальное условие, будем иметь

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Из второго начального условия вытекает, что с неоднородностями в уравнении - student2.ru поэтому окончательный ответ

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

175. Решите задачу о вынужденных продольных колебаниях стержня, закрепленного в конце х=0 и подверженного на другом конце x=l, дейст- вию возмущающей силы, которая вызывает смещение с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru В момент времени t=0 смещение и скорости отсутствуют.

Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня u(x,t) от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Решение этой задачи нужно искать в виде суммы

с неоднородностями в уравнении - student2.ru ,

и относительно новой неизвестной функции v(x,t) будем иметь простей- шую смешанную задачу

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Ее решение будет представлено в виде ряда (см. решение задачи 144)

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

причем из первого начального условия вытекает, что Аk=0, а из второго начального условия следует

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Все коэффициенты найдены, и тогда ответ будет иметь вид

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

176. Решите уравнение вынужденных колебаний

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

при нулевых начальных и граничных условиях с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Р е ш е н и е. Нужно решать смешанную задачу

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Решение ищем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям:

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Правую часть уравнения также раскладываем в ряд Фурье с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Подставляем эти ряды в исходное дифференциальное уравнение:

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Из начальных условий для u(x,t) вытекает с неоднородностями в уравнении - student2.ru

т.е. нужно теперь решить задачи Коши

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Если k=2m четное, то решением задачи Коши будет тривиальное решение ukº0. Если же k=2m+1 нечетное, то дифференциальное урав- нение

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

имеет частное решение в виде полинома

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

В таком случае общее решение будет иметь вид

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru Из условия uk(0)=0 вытекает, что

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru Из второго условия с неоднородностями в уравнении - student2.ru получим, что Dk=0.

с неоднородностями в уравнении - student2.ru Итак, при нечетных k решением задачи Коши будет функция

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и соответственно решение рассматриваемой смешанной задачи примет вид

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

177. Решите задачу о продольных колебаниях u(x,t) стержня, подвешен -ного в концевой точке х=0, совершаемых под влиянием силы тяжести, ес-ли

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Р е ш е н и е: Здесь нужно рассматривать смешанную задачу

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Вводим новую неизвестную функцию v(x,t), полагая

u(x,t) = v(x,t) + w(x)

и выбирая w(x) такой, чтобы для функции v(x,t) получить однородное уравнение и однородные граничные условия. Для этого нужно потре- бовать

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и далее выбрать константы из условий

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

В итоге получим, что

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

и для таким образом подобранной функции w(x) относительно v(x,t)

найдем простейшую смешанную задачу

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Ее решение (как и в задаче 174) отыскивается в виде ряда с неопреде- ленными коэффициентами:

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

причем из условия с неоднородностями в уравнении - student2.ru следует с неоднородностями в уравнении - student2.ru а из первого начального условия имеем

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

С учетом найденных коэффициентов Bk, Ak , и w(x) ответ будет иметь вид

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Решите следующие смешанные задачи.

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru

с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru с неоднородностями в уравнении - student2.ru

Наши рекомендации