Ковариация двух сл. вел-н, ее св-ва, коэффициент корреляции двух сл. вел-н и его св-ва

Опр. Ковариацией двух сл. вел-н. Х и Y, заданных на одном и томже вероятн-ом простр-ве, наз-ся мат. ожидание произведения отклонений сл-ых вел-н Х и Y от их мат. ожиданий. Сov(X,Y)=M[(X–MX)(Y–MY)]. Она показ-ет зависят ли вел-ны Х и Y друг от др. или нет.

Теор. Если Х и Y независ-ые сл. вел-ны, то Сov(X,Y)=0. Док: По опред. Сov(X,Y)=M[(X–MX)(Y–MY)]. Раскроем скобки, тогда Сov(X,Y)=M [(X·Y –X·(MY=const)–Y·(MX=const)+(MX·MY=const))=M(XY)–MY·MX–MX·MY+MX·MY=MX·MY–MY·MX=0, т.к. MC=C и если Х и Y независимы, то M(XY)=MX·MY и M(XY)–MX·MY=0 _■

Теор. Если сл. вел-ны Х₁ и Х₂ попарно независимы, то D(Х₁+Х₂)=D(Х₁)+D(Х₂) и D(Х₁–Х₂)=D(Х₁)+D(Х₂). Док: D(Х₁+Х₂)= M[(Х₁+Х₂–M(Х₁+Х₂))²] = M[ ((Х₁– MХ₁)+(Х₂–MХ₂))²]= M[ (Х₁– MХ₁)²+2(Х₁– MХ₁)·(Х₂–MХ₂)+(Х₂–MХ₂)²]= M[ (Х₁– MХ₁)²]+2M[(Х₁– MХ₁)·(Х₂–MХ₂)]+M[(Х₂–MХ₂)²]= DX₁+ (2 Сov(X₁, X₂)=0)+ DX₂= DX₁+ DX_2■ В ходе док-ва получили следующ. св-во D(Х₁±Х₂)= D(Х₁)+ D(Х₂) ± 2 Сov(X₁, X₂) для всех сл. вел-н Х₁ и Х₂.

Опр. Пусть на одном и томже вероят-ом простр-ве заданы сл. вел-ны X и Y. Коэффиц-ом корреляц. X и Y наз-ся число – отношение ковариации к произведен. среднеквадрат-ых отклонений этих вел-н r(X,Y)=Cov(X,Y)/

Опр. Ковариацией двух непрерывн. сл. вел-н Х и Y назыв-ся мат. ожид. сл-ой вел-ны (X–MX)(Y–MY), где (X–MX) – отклонение сл. вел-ны Х от соего мат. ожид. (центрирование сл-ой вел-ны.), которое выражается в интег-рале Сov(X,Y)=

Опр. Коэффиц-ом корреляц. двух непрерывн. сл. вел-н X и Y наз-ся число r(X,Y)= Cov(X,Y)/

Биноминальное распределен., вычисление мат. ожид. и дисперсии бином-ой сл. вел-ны.

Опр. Пусть вероятность Р{Х=k} = , где 0£ р £1, q =1–p, k= 0, 1, 2,…, n. Тогда говор., что сл. вел-на X имеет биноминальн. распр. Бином. распр. имеет сл. вел. S_n – числ. успех. в серии из n назавис. испыт. Бернулли. , .

Вычисл. МХ: S_n = X₁+X₂+…+X_n, MS_n =MX₁+MX₂+…+MX_n. Вычислим MX_k , 1 £ k £ n: MX_k =1p+0q=p Þ MS_n = np.

Вычисл. DХ: S_n = X₁+X₂+…+X_n, по услов. испытания Берн. Независимы, поэтому DS_n =DX₁+DX₂+…+DX_n. Вычислим DX_k при k =1,2… n: DX_k = M(X_k)² – (MX_k)² = MX_k – (MX_k)² = р – р² = pq. Поэтому DS_n = npq.

Пуассоновское распределение

Определение Пусть где >0, к=0,1,2…

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. По определению имеем

Если в сумме k= 0, то соответствущее слагаемое равно нулю, так как 0! = 1. Поэтому

, (с учетом ).

^=о

Вычислим DX. Предварительно вычислим . Пользуясь тождеством имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому

Геометрическое распределениеОпределение. Пусть

, где 0 < р < 1, q= р - 1,k = 0, 1, 2,...

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет геометри­ческое распределение.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. Пользуясь теоремой о почленном дифферен­цировании степенных рядов, имеем

Вычислим МХ². Пользуясь тождеством , имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому .