Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки

Лекция 10 . Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве

Определение 10.10. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

(10.1)

Если левая часть (10.1) есть многочлен, то плоскость называется алгебраической, степень этого многочлена должна быть единицей, т.к. плоскость – это поверхность первого порядка.

Пусть в декартовой системе координат дана некоторая плоскость a, точка .

Определение 10.2. Любой вектор , перпендикулярный плоскости a, будем называть нормальным вектором этой плоскости - .

Пусть - произвольная точка пространства. Рассмотрим вектор . Если точка , то . Если точка , то эти векторы не перпендикулярны. Таким образом, условием принадлежности точки М к плоскости a является условие, , т.е. . (10.2)

Это и есть уравнение плоскости. Распишем его в координатах. Т.к.

(10.3)

Это уравнение плоскости, проходящее через точку и перпендикулярно вектору где , - координаты точки известной точки, - координаты точки М – текущей точки плоскости.

Пример 10.1. . Написать уравнение плоскости ;

- уравнение плоскости.

Раскроем скобки в уравнении (10.3), получим:

- общее уравнение плоскости, (10.4),

где .

Общее уравнение плоскости и его исследование

Рассмотрим уравнение (10.4) ,

, - текущие координаты.

1) Þ не перпендикулярен ни одной из осей координат, т.к не удовлетворяют уравнению (10.4), то плоскость не проходит через начало координат.

2) вектор не перпендикулярен ни одной из осей координат и значит, плоскость не параллельна ни одной из осей координат, т.к. , то плоскость проходит через начало координат.

3) ,

а плоскость . Если: , то содержит ось .

4) , то плоскость параллельна Оу, при плоскость содержит ось Оу.

5) , то плоскость параллельна оси , , то плоскость содержит ось .

2) ()

3) А=С=0, Ву+D=0, ()

4) В=С=0, Ах+D=0, ()

5) А=В=С=0 Þ D=0; при , уравнение теряет смысл; при , уравнение плоскость не определяет.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость a не параллельна ни одной из осей и не проходит через точку . Тогда она задается общим уравнением (10.4): , где . Пусть плоскость пересекает оси координат в точках .

Т.к. , то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

Для Р: ,

Для Q: ,

Для R: .

Подставляя в уравнение плоскости и разделив на «–D» получим: - уравнение плоскости в отрезках (10.5)

Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки

Пусть плоскость a проходит через три заданные точки: . Пусть - произвольная точка пространства R³.

Рассмотрим три вектора:

;

;

;

точка , вектора лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. По условию компланарности трёх векторов – их смешанное произведение равно нулю: .

Или через координаты: (10.6)

Это уравнение плоскости, проходящее через три точки.

Пример 10.2. Написать уравнение плоскости, проходящее через точки .

;

- уравнение плоскости.