Задания для самостоятельного решения
Предел последовательности и функции
Числовая последовательность
Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают , т.е.
– n-ый член последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.
Зная функцию и номер n, можно вычислить любой член последовательности.
Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.
Последовательность может быть задана:
1) аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные);
2) реккурентным способом. (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены прогрессии через предыдущие);
3) геометрически (точками на числовой оси), соответствующими конкретным значениям ;
4) графическим способом (задаются точки , на координатной плоскости);
5) словеснымописанием;
Табличным способом.
Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т.е. если .
Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т.е. .
Последовательность называется неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. .
Последовательность (хn) называется невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. .
Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность называется ограниченной, если существует такие числа m и M, что выполняется неравенство .
Если существует такое число M, что , то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что , то последовательность называется ограниченной снизу.
Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство
.
Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности , если .
Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдётся такой номер , для которого выполняется равенство . Решим это квадратное уравнение , т.е. , . Числа , значит, число 28 не является членом данной последовательности.
Пример 2. Вычислить первые пять членов последовательности , если . Определить, для каких членов последовательности выполняется условие .
Решение. Подставляя в формулу общего члена значение n=1,2,3,4,5, получим:
; ;
; ;
.
Решим неравенство
Решением этого неравенства будут . Поэтому для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие .
Пример 3. Последовательность задана следующим образом (реккурентно): и . Вычислить первые 4 ее члена.
Решение: Первый члена последовательности известен: . Для вычисления в заданной формуле для положим . Получим
.
Для вычисления в формуле выбираем . Тогда выразится через найденный член :
.
Аналогично:
.
Пример 4.Последовательность задана формулой общего члена: . Задать таблично первые 8 ее членов, изобразить их геометрически и графически.
Решение. Вычислим первые 8 членов заданной последовательности и заполним таблицу.
Для геометрической иллюстрации изобразим на числовой оси члены последовательности (рис.1)
Рис.1
В системе координат укажем точки плоскости, которые имеют координаты для (рис.2).
Рис. 2
Пример 5. Доказать, что последовательность является строго убывающей.
Решение. Если последовательность строго убывающая, то выполняется неравенство или .
Вычисляем
.
Составим отношение
.
Поскольку
, действительно.
Получаем для любых натуральных n.
Значит, последовательность является строго убывающей.
Пример 6. Исследовать последовательность , на ограниченность.
Решение. Запишем формулу общего члена последовательности следующим образом:
.
Так как и , то , а поэтому
и .
Следовательно, последовательность является ограниченной сверху.
Поскольку неравенство выполняется для всех , то .
Значит, последовательность является также ограниченной снизу.
Приходим к выводу. что – ограниченная последовательность.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Последовательность задана формулой . Найдите .
1.2. Запишите первые пять членов последовательности:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
1.3. Последовательность задана формулой . Найдите .
1.4. Найдите первые пять членов последовательности ( ), заданной реккурентно:
1) и ;
2) и ;
3) и .
1.5. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является возрастающей:
1) ; 2) .
1.6. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является убывающей:
1) ; 2) ; 3) .
1.7. Изобразите первые семь членов последовательности ( ) на числовой оси, если
1) 2)
1.8. Известно, что членом последовательности являются числа, каждое из которых, начиная с 0, на 2 единицы больше предыдущего. Запишите первые 5 членов этой последовательности.
II уровень
2.1. Запишите первые шесть членов последователь- ности (xn):
1)
2)
2.2. Запишите первые шесть членов последовательности:
1) чётных, натуральных чисел, кратных числу 3.
2) натуральных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 5.
3) натуральных чисел, кратных числам 3 и 4.
Укажите формулу n-го члена последовательности.
2.3. Определите, содержится ли среди членов числовой последовательности число:
1) ; 2) ; 3) .
2.4. Исследуйте последовательность на ограниченность:
1) ; 2) 3) ;
4) 5) 6)
7) 8) .
2.5. Изобразите графически ( в системе координат 10 членов последовательности ( ), если
1) 2)
3) ; 4) .
III уровень
3.1. Найдите первые девять членов последовательности Фибоначчи, заданной реккурентно:
и , .
3.2. Запишите первые шесть членов последовательности приближенных значений с точностью до (по недостатку).
3.3. Определите, для каких членов последовательности , заданной формулой не выполняется условие .
3.4. Последовательность задана формулой Определите сколько членов этой последовательности принадлежит промежутку .
3.5. Последовательность задана формулой . Установите, верно ли равенство .
Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа найдётся такой номер (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполняется неравенство
(1)
Обозначают:
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (хn), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а, попадают все члены данной последовательности начиная с некоторого номера .
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.
Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;
2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;
3) для того чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , где – бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер , что для всех n, начиная с этого номера , выполняется неравенство
.
Если последовательность (хn) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут .
Последовательность не имеет предела в 2-х случаях:
1) предел не определён;
2) последовательность является бесконечно большой.
Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.
Если – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.
Если последовательности , имеют пределы, то справедливы следующие свойства:
1) где ;
2) ;
3) ;
4) где .
Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.
При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределённости вида . Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .
Решение. Выбираем произвольное число . Согласно определению, число 3 является пределом последовательности , если сможем указать такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (1), которое в нашем случае имеет вид
. (2)
Неравенство (2) равносильно неравенству
,
т.е.
или .
Поскольку и , из последнего неравенства получаем
; .
В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (2), может быть выбрано натуральное число
.
Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.
Пример 2. Вычислить предел последовательности:
1) 2) ;
3) .
Решение. 1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, т.к. непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа .
Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т.е. на и получим
,
так как при последовательности стремятся к нулю.
Таким образом, приходим к ответу:
.
2. Так как по определению факториала
,
то получаем
Делением на старшую степень выражения, т.е. на , убеждаемся, что
3. Поскольку при имеем и , то выражение даёт неопределённость типа . Умножив и разделив выражение на сопряжённый множитель , получим:
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на тогда
Таким образом, получаем ответ: