Определение. Число называется пределом последовательности , если: , такое, что выполняется: .
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика
Учебное пособие
(курс лекций)
Й семестр
Часть 2
для специальности:
09.03.03 «прикладная информатика в экономике»
(группы 446-1 и 446-2)
Томск
ТУСУР
Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.
Оглавление.
Часть 2 (ноябрь - декабрь)
Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 4
§1. Множества и функции. 4
§2. Пределы. 9
§3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины 23
§4. Непрерывность.
Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
§1. Введение, основные методы.
2. Частные производные и градиент.
§3. Уравнение касательной, формула Тейлора.
§4. Экстремумы и строение графика.
§5. Основные теоремы дифф. исчисления
Лекция № 8. 21. 10. 2016 4
Лекция № 9. 28. 10. 2016 6
Лекция № 10. 11. 11. 2016 17
Лекция № 11. 18. 11. 2016 27
Лекция № 8. 21. 10. 2016
Глава 5. Основы математического анализа.
Множества и функции.
Множеством называют совокупность объектов некоторого типа. Например, множество точек на плоскости, множество чисел, множество матриц.
Объединение
Пересечение
Объединение и пересечение 2 множеств показаны графически:
Разность множеств: . Показано на чертеже:
Аналогично, .
Объединение этих двух разностей называется симметрической разностью, и обозначается так: = , на чертеже:
В то же время, это множество можно получить и другим путём: из объединения удалить пересечение. То есть,
= .
Ещё обозначения: - множество А является подмножеством множества В.
Числовые множества.
натуральные числа
целые числа
рациональные числа
вся действительная ось, действительные числа.
Множество - иррациональные числа.
Верно следующее: .
Существует обобщение: комплексные числа вида . Комплексная плоскость.
Множества на действительной оси.
Интервал - граничные точки не включены.
Отрезок - здесь границы включены во множество.
Пример. Найти объединение и пересечение множеств ,
.
Множество вида . Числа «бесконечность» не существует, поэтому в таком множестве справа всегда должна быть круглая скобка.
Интервал вида в будущем будем называть окрестностью радиуса точки и обозначать .
Внутренние и граничные точки.
Если для точки существует окрестность, которая полностью лежит во множестве А, то есть является его подмножеством, , то такая точка называется внутренней точкой множества А. Если же для любой окрестности есть лишь частичное пересечение со множеством А, то такая точка называется граничной точкой множества. Показано на чертеже:
Функция, аргумент, образ.
Пусть даны 2 множества , . Если задан некоторый способ каждому элементу поставить в соответствие какой-то , то говорится, что задана ФУНКЦИЯ из в . Обозначение: .
называется аргументом функции, а - образом.
Основные элементарные функции и их графики: повторить из школьного курса (!)
Степенные , показательные , логарифмические , тригонометрические , обратные тригонометрические.
Лекция № 9. 28. 10. 2016
Если , то есть , график - кривая в плоскости.
Если функция двух переменных, то есть , её график - это поверхность в трёхмерном пространстве.
Монотонность.
Монотонно возрастающая функция: если то .
Монотонно убывающая функция: если то .
Периодичность.
Если существует такое число , что верно то функция называется периодической, - период.
Примеры. , период , , период .
О влиянии коэффициента на период. Если период равен . Если , колебания становятся чаще, а период меньше. Почему так происходит? Точка прошла расстояние , в это время - прошло в раз больше, то есть в раз больше колебаний произошло на этом отрезке, длина которого . Если наоборот, период больше, а колебания реже, чем у исходного графика.
Чётность и нечётность.
Чётная функция: . График чётной функции симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а также cos(x).
Нечётная функция: . График нечётной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 1800 график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечётной степени, или например синус, тангенс.
Существует такое неочевидное свойство разложения на чётные и нечётные компоненты:
Свойство. Любая функция f представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть .
Доказательство.Введём две функции: , . Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить на , то для получится выражение, равное исходному, а вот для разность в числителе будет противоположна: = .
Сумма этих функций: = = = .
итак, .
Если чётную и нечётную компоненты записать для функции , то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: , .
Вообще, существует 3 способа задания функций - явный, неявный, параметрический.
| Способ задания: | Явно | Неявно | Параметрически |
| Вид уравнения: | |||
| Пример (окружность) | |||
| Пример (прямая) |
Для поверхностей тоже существуют эти 3 способа:
Явный: Неявный:
Параметрический: (в этом случае обязательно будет два параметра). Например, 2 параметра на сфере: широта и долгота.
Пределы.
Последовательность.
Множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: называется последовательностью. Её можно определить также и как функцию .
Графиком будет не кривая, а дискретный набор точек, потому что только над каждой точкой с абсциссой, равной натуральному числу, есть точка графика.
Например, - последовательность.
Арифметическая и геометрическая прогрессии тоже частный случай последовательности.
Пример: геометрическая прогрессия
В рассмотренных примерах видно, что при возрастании номера элемент убывает к 0. Однако при этом само число 0 не достигается ни при каком номере. То есть, числа 0 в этой последовательности нет. Однако, все элементы уменьшаются и приближаются к 0. В связи с этим возникает определение предела последовательности:
Определение. Число называется пределом последовательности , если: , такое, что выполняется: .
(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такой номер элемента последовательности, что для всех последующих номеров отклонение элементов от числа А меньше, чем эпсилон). В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.
Обозначение предела: . (lim это от английского слова limit которое хорошо известно и в русском языке - лимиты потребления света, воды и т.д. ).
Если рассмотреть полосу от до по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:
Чем меньше число (погрешность меньше) тем больший номер требуется .
Пример. . По определению: если например требуемая точность то , выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.
* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени , что в последующие моменты времени расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.
Предел может и не существовать. Для последовательности , например, предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .
Рассмотрим последовательность
Вычислим предел. = = . Второе слагаемое в знаменателе стремится к 0. В итоге, , =1.
Таким же методом можно сокращать старшие степени и в других случаях, для произвольных степеней.
= = .
В общем случае, когда степени разные: = .
Пример. Вычислить предел
Решение.Здесь неопределённость типа . Сократим на :
= = .
Пример. Вычислить предел .
Комментарий. В выражениях с неопределённостью типа ответ не виден из самого выражения. Так, если 2 объекта от нас удаляются в бесконечность, то при этом расстояние между ними может уменьшаться, может стабилизироваться на каком-то уровне, а может возрастать. Например, для оба слагаемых стремятся к бесконечности, но и разность между ними тоже увеличивается неограниченно. А в разности оба слагаемых увеличиваются, но разность стабильна и равна 1. Поэтому при решении таких примеров снаала нужны преобразования, приводящие к виду дроби, а там уже можно сократить на какой-то множитель.
Итак, умножим на сопряжённое выражение, то есть на сумму, подобную этой разности. Тогда можно будет применить формулу сокращённого умножения, и корень исчезнет, так как он будет возведён в квадрат.
= = = =
В знаменателе содержится n и выражение, содержащее корень из 2 степени, которое по скорости роста сопоставимо с n. Сократим числитель и знаменатель на n.
= = = . Чтобы разделить корень, удобно факт деления на n представили как деление на корень из n2, продолжим:
= = .
Вычислительный эксперимент. Чтобы луше понять понятие предела, можете вычислить выражение например, при n = 100, n = 1000 на калькуляторе. Чем больше n тем ближе к 0,5 ответ получится.
n = 100 результат 0,49876. Отклонение от 1/2 составило 0,00124.
n = 1000 результат 0,49988. Отклонение от 1/2 составило 0,00012.
Теорема 1. Пусть дано 3 последовательности, причём для любого номера n: . Если , .
Доказательство. Так как для первой и третьей последовательности предел равен А, то числа (начиная с какого-то номера) отклоняются от не больше чем на величину , то есть принадлежат интервалу . Но число находится между ними, тогда оно тоже принадлежит . Тогда по определению, для средней последовательности тоже существует предел.
Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
Примеры нарушения одного из этих двух условий.
не ограничена, предел .
не монотонна. Пределом не может быть ни одно из чисел 0 или 1. Здесь после любого элемента, среди последующих есть какой-либо, удалённый от данного на расстояние 1, то есть в определении предела было бы не «для любого », а только для >1. Колебания по высоте не уменьшаются, все последующие элементы не впишутся в узкую полосу ширины .
Предел функции при .
Число называется пределом функции , при если:
, так, что выполняется: .
Объяснение: для любой заранее заданной погрешности существует такая константа М, что правее неё график отклоняется от ординаты А не более, чем на .
Аналогично определяется предел при для левой полуоси.
Пример. . Два различных предела при и . . Предел на правой полуоси равен , но при этом ни в одной точке функция не принимает это значение.
Пример. Найти .Вычисление проводится таким же методом, как в случае последовательности, где было . Сократим на , получим = .
Как видим, вычислять пределы для дробно-рациональных выражений можно тем же методом, что было для последовательностей. Как видим, эта ситуация сильно напоминает то, что было в случае пределов последовательностей, только там дискретная величина а здесь непрерывная, .