Теоретико-множественная концепция

*предоставила основной в настоящее время стандарт математической строгости,

*позволила разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их

*систематизировать.

*переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неясности и разногласия относительно корректности определений и

убедительности доказательств отдельных теорем.

алгебра - наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новыйобъект системы Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «непрерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов.

Обнаружившиеся в начале XX в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми ее областями, где понятию бесконечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могущая нанести существенного вреда основным разделам «работающей» математики. Однако следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а последняя сама нуждается в логическом обосновании.

В начале XX в. в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд парадоксов, поставивших под сомнение возможность ее непротиворечивого обоснования. После того как теория множеств в конце XIX в. стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоречий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множественных рассуждениях воспринимается довольно болезненно.

Парадокс Б. Рассела.

Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента, другие - нет. А образуем класс из всех классов, которые не включают себя в качестве своего элемента. Попытаемся определить, будет ли он, входить элементом в свое же множество или не будет? Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.

*"парадокс парикмахера". "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя?

*был свидетельством противоречий в содержании математической теории.

*Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.

*Но множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.

*Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия.: "никогда не говори "никогда", "каждое правило имеет исключение", "всякое обобщение неверно".

Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие.

*Возникло новое обоснование Оно опиралось уже не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике - конструктивную ветвь.

*Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно - нетрадиционные пути развития математической теории.

*Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства.

*Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. *Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математической.

непротиворечивости. Эта проблема была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Необходимо было:

*найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для устранения парадоксов.

*сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость.

Б. Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы.

Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций. А как в будущем? М?

18. Философско-методологическое значение теоремы Геделя о полноте.

К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложениях "Principia Mathematica" и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления, поскольку они удовлетворяют требованию семантической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты. В настоящее время признано, что исследования Гёделя показали бесперспективность логицизма как программы

обоснования математики.

В 1900 году в Париже Всемирная конференция математиков, Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943

23 наиважнейшие задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века.

вопрос: самодостаточна ли математика?

необходимости строго доказать, что система аксиом совершенна и полна, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

1931 Курт Гёдель —опубликовал короткую статью, опрокинувшую весь мир «математической логики».

первая, слабая теорема Гёделя о неполноте: