Напряжения в сферических толстостенных сосудах.

На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru ; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.

Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru значения:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

соответственно, где Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru — наружный и внутренний радиусы.

Так, при действии внешнего Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и внутреннего Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru давлений А и В определяются из условий:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru на внутренней поверхности,

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru на внешней поверхности

Отсюда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Тогда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Лекция № 40. Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров.

Если толщина стенок цилиндра Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru мала по сравнению с радиусами Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).

Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.

Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.

Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , толщину стенки назовем t.

По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru в меридиальном направления и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru . Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.

Усилия Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab, равную

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Рис.2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара

Подобным же образом усилия Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru дадут в том же направлении равнодействующую Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Отсюда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Это основное уравнение, связывающее напряжения Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.

Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.

Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Рис.3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.

Каждая пара усилий Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , действующих на диаметрально противоположные элементы Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс, равную

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru ; она будет уравновешивать давление жидкости Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru .

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Отсюда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , х и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru для каждого значения у, и стало быть, найти Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , а из уравнения Лапласа и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Например, для конического резервуара с углом при вершине Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h, будем иметь:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

тогда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Для сферического сосуда радиусом Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , находящегося под внутренним давлением Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , по симметрии Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru ; тогда из уравнения (Лапласа), так как

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Если меридиональная кривая будет иметь переломы с разрывом непрерывности угла Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , то равновесие тонкой оболочки у места перелома может быть обеспечено лишь наличием реакций, приложенных к оболочке по окружности в этом месте. Появление таких реакций обеспечивается устройством специальных колец, способных брать на себя усилия, возникающие в них в связи с неуравновешенностью напряжений Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru по обе стороны точки перелома.

Лекция № 41. Расчет быстровращающегося диска

Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.

Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru не меняются; осевое напряжение Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru будем считать равным нулю.

Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.

направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (1)

Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (1)

Подставляя в это уравнение значение разности Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru из (35.4), находим:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (2)

Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

или

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Интегрируя это уравнение, находим:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (4)

Из (1) и (4) следует, что

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (5)

В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.

Для диска с центральным отверстием напряжение Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru должно быть равно нулю как при Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , так и при Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

и

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

откуда

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Полагая для краткости можем написать:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

можем написать:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Замечаем, что напряжение Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru обращается в нуль при Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru , т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru между 1 и Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru напряжение Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru При этом

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (6)

Напряжение Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru при всех значениях Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru :

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru (7)

Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru всегда больше Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:

Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - student2.ru

Наши рекомендации