Перспектива точки и отрезка прямой 3 страница

Рис. 29
На проецирующем аппарате (рис. 29, а) видно, что предельная точка Рв восходящей прямой находится на линии главного вертикала и над горизонтом, а нисходящей - на той же линии под горизонтом . Предельной точкой проекций этих прямых будет главная точка картины Р. Такое положение восходящей и нисходящей прямых особое. Таким образом, прямой особого положения называется прямая, расположенная под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям и параллельная плоскости главного луча зрения.
Заметим, что прямые особого положения по расположению относительно предметной и картинной плоскостей являются прямыми общего положения, так как находятся к ним под произвольным углом. По признакам изображения на картине они являются прямыми частного положения, так как предельные точки этих прямых, а также их проекций находятся на линии главного вертикала (рис. 29, б). Прямые особого положения могут быть восходящими и нисходящими. Они имеют предельные точки.
Предельная точка восходящей прямой особого положения находится на линии главного вертикала над горизонтом, а ее проекция - в главной точке. (Закон предельной точки восходящей прямой особого положения.) Предельная точка нисходящей прямой особого положения находится на линии главного вертикала под горизонтом, а ее проекция - в главной точке. (Закон предельной точки нисходящей прямой особого положения.)

10. Положение прямых в пространстве относительно предметной и картинной плоскости. Классификация положения прямых в перспективе. Приведите примеры построения нескольких прямых на проецирующем аппарате.

Прямые частного положения расположены параллельно или перпендикулярно к предметной или картинной плоскости. Рассмотрим случаи частного положения прямой на проецирующем аппарате и на картине.
Горизонтальные прямые. Прямые, лежащие в предметной плоскости или ей параллельные, называются горизонтальными. Относительно картинной плоскости горизонтальные прямые могут быть расположены по-разному: параллельно, перпендикулярно o и под произвольным углом. Рассмотрим их. Форма основного объема
1. В предметном пространстве проецирующего аппарата (рис. 23, а) задана прямая А'В', параллельная предметной и 1картинной плоскостям, а следовательно, и линии их пересечения, |т. е. основанию картины. Требуется построить перспективу этой прямой. Для этого направляют ко всем ее точкам лучи зрения, которые образуют лучевую плоскость, пересекающую картину по прямой АВ, параллельной основанию картины. Таким же путем строят перспек-ртиву проекции ab заданной прямой на предметную плоскость, (которая также будет параллельна основанию картины (рис. 23, б). Признаком параллельности горизонтальной прямой к предмет-1ной и картинной плоскостям является параллельность данной прямой и ее проекции основанию картины. Выполнение графических работ Свойства развертки Начертательная геометрия Аксонометрические проекции Виды аксонометpических пpоекцийМетод пpямоугольного пpоециpования на несколько плоскостей пpоекций, обладая многими достоинствами, вместе с тем имеет и существенный недостаток: изобpажения не обладают наглядностью.

Рис. 23

Рис. 24
Такая прямая определяет одно из главных направлений - ширину измерения.
Горизонтальная прямая, одновременно параллельная предметной и картинной плоскостям, в перспективе расположена параллельно основанию картины и предельной точки не имеет. Действительно, если из точки S направить лучи зрения в обе стороны параллельно этой прямой (см. рис. 23, а), то они будут находиться в нейтральной плоскости и, следовательно, будут параллельны картине. Их пересечение с картиной будет в несобственной точке промежуточного (нейтрального) пространства.
2. В предметном пространстве проецирующего аппарата задана бесконечно продолженная прямая, лежащая в предметной плоскости и расположенная перпендикулярно к картине, а следовательно, и к ее основанию (рис. 24, а). Требуется построить перспективу этой прямой. Сначала отмечают точку Ао, принадлежащую картине. Затем строят предельную точку этой прямой. Для этого параллельно ей направляют луч зрения SP, который пересечет картину в главной точке. Следовательно, для данной прямой предельной точдой будет главная точка картины Р (рис. 24, б).
Итак, предельная точка бесконечно продолженной горизонтальной прямой, перпендикулярной к картине, в перспективе совпадает с главной точкой картины. (Закон главной точки.)
Прямую, параллельную предметной плоскости и перпендикулярную картине, называют глубинной. Она определяет одно из главных направлений - глубину измерения.

3. Горизонтальная прямая может быть расположена параллельно предметной плоскости и под произвольным углом к картине (рис. 25, а). Ее предельной точкой А" может быть любая точка на линии горизонта, кроме главной - Р. Место положения предельной точки на линии горизонта зависит от направления заданной прямой . На картине (рис. 25, б) прямая АА параллельна предметной плоскости, а прямая ВВ лежит в предметной плоскости.

Рис. 25

Обе прямые, произвольно направленные, и составляют в натуре с основанием картины произвольный угол.
Горизонтальная прямая, параллельная предметной плоскости и составляющая с картиной произвольный угол, в перспективе имеет предельную точку на линии горизонта - любую, кроме главной. Заметим, что среди горизонтальных прямых имеются такие, которые расположены к картинной плоскости под углом 45°. Для построения предельной точки этой прямой на проецирующем аппарате (рис. 26, а) проводят параллельно ей луч зрения. В плоскости горизонта образуется прямоугольный треугольник SPD, у которого при вершине Р угол 90°, а при вершине 5-45° (по построению). Тогда третий угол этого треугольника будет также равен 45°. Следовательно, данный треугольник прямоугольный и равнобедренный, у которого катеты SP и PD равны, а третья вершина D является дистанционной точкой.

Рис. 26
Если на картине задана прямая, лежащая в предметной плоскости или ей параллельная, с предельной точкой D, то в натуре угол ее наклона к основанию картины составляет 45° (рис. 26, б).

Итак, предельной точкой горизонтальной прямой, расположенной под углом 45° к картинной плоскости, в перспективе является дистанционная точка. (Закон дистанционной точки.)

Вертикальные прямые. Прямые, перпендикулярные к предметной плоскости, а следовательно, параллельные картине, называются вертикальными.
Зададим в предметном пространстве проецирующего аппарата вертикальную прямую А'В' и построим ее перспективу . Для этого направим ко всем точкам этой прямой проецирующие лучи, которые в совокупности образуют лучевую горизонтально-проецирующую плоскость, поскольку она проходит через прямую А'В', перпендикулярную к П. Отсюда линия пересечения лучевой плоскости с картиной будет тоже перпендикулярна к предметной плоскости Я, а следовательно, и к основанию картины. Отрезок АВ на линии пересечения плоскостей является перспективой заданного вертикального отрезка А'В'
Вертикальная прямая на картине расположена перпендикулярно к ее основанию и предельной точки не имеет. Она определяет одно из главных направлений - высоту измерения. И действительно, если через точку зрения направить луч параллельно данной прямой, то он будет находиться в нейтральной плоскости и, следовательно, параллелен картине. Точка их пересечения будет в несобственной точке промежуточного (нейтрального) пространства.

Фронтальные прямые.Прямые, параллельные картине и наклонные под произвольным углом к предметной плоскости, называются фронтальными.
Зададим в предметном пространстве проецирующего аппарата фронтальный отрезок А'В' и построим его перспективу (рис. 28, а). Как и в предыдущих случаях (см. рис. 23 и 27), фронтальная прямая не будет иметь предельной точки, так как луч зрения, направленный параллельно ей в обе стороны, будет находиться в нейтральной плоскости. Заданная прямая пересечется с лучом зрения в несобственной точке промежуточного (нейтрального) пространства.
Заметим, что у фронтальной прямой ее проекция а'Ь' на предметную плоскость расположена параллельно основанию картины.

рис 28
Следовательно, перспективное изображение проекции ab фронтальной прямой также будет параллельно основанию картины (рис. 28, б). Из построения также видно, что перспективное изображение отрезка АВ параллельно самому отрезку А'В'. Следовательно, в перспективе сохраняется натуральная величина угла а наклона фронтальной прямой к ее вторичной проекции, т. е. к предметной плоскости.
Перспектива фронтальной прямой не имеет предельной точки и определяется параллельностью ее вторичной проекции основанию картины, а также величиной угла наклона к предметной плоскости.

Прямые особого положения. Прямая может находиться под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям и в то же время быть параллельна плоскости главного луча зрения. Тогда ее проекция на предметную плоскость, расположенная перпендикулярно к картинной плоскости, будет глубинной прямой с предельной точкой Р.

Рис. 29
На проецирующем аппарате (рис. 29, а) видно, что предельная точка Рв восходящей прямой находится на линии главного вертикала и над горизонтом, а нисходящей - на той же линии под горизонтом . Предельной точкой проекций этих прямых будет главная точка картины Р. Такое положение восходящей и нисходящей прямых особое. Таким образом, прямой особого положения называется прямая, расположенная под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям и параллельная плоскости главного луча зрения.
Заметим, что прямые особого положения по расположению относительно предметной и картинной плоскостей являются прямыми общего положения, так как находятся к ним под произвольным углом. По признакам изображения на картине они являются прямыми частного положения, так как предельные точки этих прямых, а также их проекций находятся на линии главного вертикала (рис. 29, б). Прямые особого положения могут быть восходящими и нисходящими. Они имеют предельные точки.
Предельная точка восходящей прямой особого положения находится на линии главного вертикала над горизонтом, а ее проекция - в главной точке. (Закон предельной точки восходящей прямой особого положения.) Предельная точка нисходящей прямой особого положения находится на линии главного вертикала под горизонтом, а ее проекция - в главной точке. (Закон предельной точки нисходящей прямой особого положения.)

11. Перспектива параллельных прямых особого положения (определение). Процесс построения перспективы параллельных прямых особого положения на проецирующем аппарате и признаки изображения их на картине. Приведите примеры.

На рисунке 42 изображены две пары восходящих (Л,РВ и А2РВ) и нисходящих (В\РК и В2Рн) параллельных прямых особого положения. На основе общего правила их точки схода лежат на одном перпендикуляре к линии горизонта. Заметим, что в данном случае перпендикуляром является линия главного вертикала.
Итак, восходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала над горизонтом, а их проекций - в главной точке. (Закон точки схода пучка восходящих прямых особого положения.)
Итак, нисходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала под горизонтом, а их проекций - в главной точке картины. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых особого положения.)

Рис. 42

12. Взаимное положение прямых. Признаки изображения их на картине. Построение перспективы нескольких прямых (общего и частного) при различном положения относительно друг друга. Приведите примеры.

Относительно друг друга прямые могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися. Важно знать и уметь определять признаки взаимного положения двух прямых, изображенных на картине. Это даст возможность решать прямые (строить перспективу взаимного положения прямых) и обратные (определять их взаимное положение по изображению на картине) задачи.
Параллельные прямые. Наиболее часто встречаются параллельные прямые. Из практики наблюдательной перспективы известно, что параллельные прямые кажутся нам сходящимися в одной точке (железнодорожное полотно, шоссейная дорога, улица и т.д.). Для обоснования такого явления обратимся к проецирующему аппарату. Искусство Голландии
Зададим на проецирующем аппарате (рис. 38, а) пучок параллельных прямых , произвольно расположенных в предметной плоскости и ей параллельной . Построим перспективу каждой прямой. Для этого воспользуемся имеющимися точками Ао, Во, Ео, т. е. картинными следами этих прямых. Определим предельную точку каждой прямой (см. рис. 18). Заметим, что для всех заданных прямых она будет общая - Л "о, так как определяется одним и тем же лучом зрения SAoo, проведенным параллельно им до пересечения с линией горизонта. Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций Определить расстояние от т. Мдо плоскости АВС На 8.8 построена линия пересеченияпрямой 30-гранной призмы с плоскостью общего положения

Итак, произвольно направленные горизонтальные параллельные прямые на картине изображаются пучком прямых, сходящихся в одной предельной точке. Общая предельная точка произвольно расположенных горизонтальных параллельных прямых находится на линии горизонта и называется точкой схода. (Закон точки схода горизонтальных прямых.)
Заметим, что на картине (рис. 38, б) для параллельных прямых (А0А'оо, ВоВ'оо), лежащих в предметной плоскости и ей параллельной (ЕхЕ'оо), точка схода Л", может лежать в любом месте на линии горизонта в зависимости от их направления.

Рис. 38
Если параллельные прямые глубинные, т. е. расположены перпендикулярно картинной плоскости, то точкой схода их будет главная эчка Р (рис. 39). Выполнение графических работ Начертательная геометрияТипы задач
Итак, точкой схода глубинных параллельных прямых является главная точка картины. (Закон точки схода пучка глубинных прямых.)
Рассмотрим перспективу восходящих параллельных прямых общего положения (рис. 40). Если восходящие прямые параллельны, Го их проекции на предметную плоскость также между собой па-эаллельны. Проекции параллельных прямых лежат в предметной плоскости, поэтому будут иметь общую предельную точку а^ - точку Схода на линии горизонта. Тогда точка схода Лоо восходящих па-заллельных прямых будет лежать на перпендикуляре, проведенном линии горизонта через точку схода а" их проекций.
Итак, восходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную над линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода проекций этих прямых. (Закон точки схода пучка восходящих прямых общего положения.)
Аналогично строят изображения нисходящих параллельных прямых. Разница лишь в том, что их точка схода В^ будет расположена в произвольном месте под линией горизонта (рис. 41).

Рис 41
Итак, нисходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную под линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода их проекций. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых общего положения.)
Таким образом, признаком параллельности прямых общего положения, изображенных на картине, является расположение на одном перпендикуляре точек схода прямых и их проекций. При этом точка схода проекций параллельных прямых должна лежать на линии горизонта.
На рисунке 42 изображены две пары восходящих (Л,РВ и А2РВ) и нисходящих (В\РК и В2Рн) параллельных прямых особого положения. На основе общего правила их точки схода лежат на одном перпендикуляре к линии горизонта. Заметим, что в данном случае перпендикуляром является линия главного вертикала.
Итак, восходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала над горизонтом, а их проекций - в главной точке. (Закон точки схода пучка восходящих прямых особого положения.)
Итак, нисходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала под горизонтом, а их проекций - в главной точке картины. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых особого положения.)

Рис. 42
Особые признаки имеют прямые частного положения, расположенные параллельно картине. Прямые, параллельные картине, изображаются на ней параллельными.
Если параллельные прямые фронтальные, то в перспективе они остаются параллельными между собой, а их проекции параллельны основанию картины, поскольку эти прямые и их проекции не имеют предельных точек (рис. 43).

Рис. 43

Если параллельные прямые вертикальные, то в перспективе они остаются вертикальными и параллельными между собой, так как они не имеют предельной точки
Если параллельные прямые горизонтальные (параллельны картинной и предметной плоскостям), то в перспективе они и их проекции остаются параллельными между собой и основанию картины (рис. 45).
Пересекающиеся прямые. Зададим на картине две пересекающиеся в точке А прямые (рис. 46). Тогда проекции этих прямых на предметную плоскость пересекаются в точке а. Причем точка а - проекция точки пересечения А данных прямых. Точки А и а находятся на одном перпендикуляре. Если на картине точки пересечения двух прямых и их проекций лежат на одном перпендикуляре, то данные прямые пересекаются между собой в действительности.
Скрещивающиеся прямые. Зададим на картине две скрещивающиеся прямые (рис. 47). Если прямые скрещиваются, то они не могут быть параллельными и не должны иметь общей точки. Следовательно, на картине точки пересечения прямых и их проекций не должны лежать на одном перпендикуляре.

Рис. 46 Рис. 47

И действительно, если на картине перпендикуляр к предметной плоскости, проведенный из точки а1 пересечения проекций двух прямых, пересекает их в двух разных точках А1 и А2, то данные прямые скрещиваются между собой в действительности. На картине точка, кажущаяся пересечением двух прямых, является изображением двух различных точек В1 и В2, лежащих на скрещивающихся прямых. Обе точки расположены на одном луче зрения и поэтому на картине совпадают.
Заметим, что основания этих слившихся на картине точек различно удалены от основания картины (В1 ближе, В2 дальше). Это указывает на различное удаление от картины соответствующих им точек на заданных прямых (точка В, ближе к зрителю, а точка В2 дальше). Прямые скрещиваются в действительности, если на картине точка пересечения проекций данных прямых является проекцией двух различных точек.
Рассмотрим построение точек схода параллельных (горизонтальных, восходящих и нисходящих), а также пересекающихся и скрещивающихся прямых на примере перспективного изображения каркаса шалаша (рис. 48).

Рис. 48
Прямые, проведенные через концы жердей (У, 2, 3, 4) и конек шалаша, являются произвольно направленными горизонтальными параллельными. Они имеют общую точку схода Q," на линии горизонта. Проекции наклонных жердей имеют точку схода q^ на линии горизонта. Наклонные жерди (/ и 2) будут восходящими параллельными прямыми, и их точка схода QB находится над линией горизонта и на перпендикуляре, проходящем через точку схода их проекций qx. Другая пара (3 и 4) наклонных жердей шалаша является нисходящими параллельными прямыми, и точка схода их QH находится на том же перпендикуляре под линией горизонта. Заметим, что все жерди шалаша имеют одинаковый наклон к земле, поэтому точки схода для восходящих и нисходящих прямых должны находиться на одном перпендикуляре к линии горизонта и на одинаковом расстоянии. По данному рисунку нетрудно определить, какие элементы шалаша параллельны, пересекаются и скрещиваются.

13. Построение перспективы пучка параллельных прямых, лежащих в предметной плоскости или ей параллельно (определение) на проецирующем аппарате и на картине. Перспектива параллельных прямых частного положения и признаки изображения их на картине. Приведите примеры.

Зададим на проецирующем аппарате (рис. 38, а) пучок параллельных прямых , произвольно расположенных в предметной плоскости и ей параллельной . Построим перспективу каждой прямой. Для этого воспользуемся имеющимися точками Ао, Во, Ео, т. е. картинными следами этих прямых. Определим предельную точку каждой прямой (см. рис. 18). Заметим, что для всех заданных прямых она будет общая - Л "о, так как определяется одним и тем же лучом зрения SAoo, проведенным параллельно им до пересечения с линией горизонта. Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций Определить расстояние от т. Мдо плоскости АВС На 8.8 построена линия пересеченияпрямой 30-гранной призмы с плоскостью общего положения

Итак, произвольно направленные горизонтальные параллельные прямые на картине изображаются пучком прямых, сходящихся в одной предельной точке. Общая предельная точка произвольно расположенных горизонтальных параллельных прямых находится на линии горизонта и называется точкой схода. (Закон точки схода горизонтальных прямых.)
Заметим, что на картине (рис. 38, б) для параллельных прямых (А0А'оо, ВоВ'оо), лежащих в предметной плоскости и ей параллельной (ЕхЕ'оо), точка схода Л", может лежать в любом месте на линии горизонта в зависимости от их направления.

Особые признаки имеют прямые частного положения, расположенные параллельно картине. Прямые, параллельные картине, изображаются на ней параллельными.
Если параллельные прямые фронтальные, то в перспективе они остаются параллельными между собой, а их проекции параллельны основанию картины, поскольку эти прямые и их проекции не имеют предельных точек (рис. 43).

Рис. 43

Если параллельные прямые вертикальные, то в перспективе они остаются вертикальными и параллельными между собой, так как они не имеют предельной точки
Если параллельные прямые горизонтальные (параллельны картинной и предметной плоскостям), то в перспективе они и их проекции остаются параллельными между собой и основанию картины (рис. 45).
Пересекающиеся прямые. Зададим на картине две пересекающиеся в точке А прямые (рис. 46). Тогда проекции этих прямых на предметную плоскость пересекаются в точке а. Причем точка а - проекция точки пересечения А данных прямых. Точки А и а находятся на одном перпендикуляре. Если на картине точки пересечения двух прямых и их проекций лежат на одном перпендикуляре, то данные прямые пересекаются между собой в действительности.
Скрещивающиеся прямые. Зададим на картине две скрещивающиеся прямые (рис. 47). Если прямые скрещиваются, то они не могут быть параллельными и не должны иметь общей точки. Следовательно, на картине точки пересечения прямых и их проекций не должны лежать на одном перпендикуляре.

Рис. 46 Рис. 47

И действительно, если на картине перпендикуляр к предметной плоскости, проведенный из точки а1 пересечения проекций двух прямых, пересекает их в двух разных точках А1 и А2, то данные прямые скрещиваются между собой в действительности. На картине точка, кажущаяся пересечением двух прямых, является изображением двух различных точек В1 и В2, лежащих на скрещивающихся прямых. Обе точки расположены на одном луче зрения и поэтому на картине совпадают.
Заметим, что основания этих слившихся на картине точек различно удалены от основания картины (В1 ближе, В2 дальше). Это указывает на различное удаление от картины соответствующих им точек на заданных прямых (точка В, ближе к зрителю, а точка В2 дальше). Прямые скрещиваются в действительности, если на картине точка пересечения проекций данных прямых является проекцией двух различных точек.
Рассмотрим построение точек схода параллельных (горизонтальных, восходящих и нисходящих), а также пересекающихся и скрещивающихся прямых на примере перспективного изображения каркаса шалаша (рис. 48).

Рис. 48
Прямые, проведенные через концы жердей (У, 2, 3, 4) и конек шалаша, являются произвольно направленными горизонтальными параллельными. Они имеют общую точку схода Q," на линии горизонта. Проекции наклонных жердей имеют точку схода q^ на линии горизонта. Наклонные жерди (/ и 2) будут восходящими параллельными прямыми, и их точка схода QB находится над линией горизонта и на перпендикуляре, проходящем через точку схода их проекций qx. Другая пара (3 и 4) наклонных жердей шалаша является нисходящими параллельными прямыми, и точка схода их QH находится на том же перпендикуляре под линией горизонта. Заметим, что все жерди шалаша имеют одинаковый наклон к земле, поэтому точки схода для восходящих и нисходящих прямых должны находиться на одном перпендикуляре к линии горизонта и на одинаковом расстоянии. По данному рисунку нетрудно определить, какие элементы шалаша параллельны, пересекаются и скрещиваются.

14. Общее и частное положение плоскости (определение). Признаки изображения на картине различных плоскостей частного положения. Приведите пример.

Плоскость общего положения

Плоскость, которая занимает произвольное положение по отношению к плоскости проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций - произвольные, но отличные от 0° и 90°) называется плоскостью общего положения (рис. 2.12.а).

На комплексном чертеже следы плоскости общего положения составляют с осью проекций также произвольные углы.

Рассмотрим изображение на комплексном чертеже и свойства плоскостей частного положения: плоскости, перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций.

Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций
(проецирующие плоскости)

· 1. Горизонтально-проецирующая плоскость α ┴ π₁.

Плоскость α, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции π₁, называется горизонтально проецирующей (рис. 2.13).

Основным свойством горизонтально-проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π₁ в прямую линию (горизонтальный след плоскости h⁰_α).

Угол b, который составляет горизонтальный след плоскости h⁰_a c координатной осью Х, равен углу наклона плоскости a к плоскости проекций p₂. Фронтальный след такой плоскости перпендикулярен оси Х (f⁰_a ┴ X).

· 2. Фронтально-проецирующая плоскость β ┴ π₂.

Плоскость b перпендикулярная фронтальной плоскости проекций π₂ называется фронтально проецирующей (рис. 2.14).

а б в

г д е

ж

Рис. 2.12. Способы задания плоскости: а - тремя точками, не лежащими на одной прямой; б - прямой и точкой вне ее; в - двумя пересекающимися прямыми; г - двумя параллельными прямыми; д,е - плоской фигурой; ж - следами плоскости

Рис. 2.13. Горизонтально-проецирующая плоскость

Рис. 2.14. Фронтально-проецирующая плоскость