И квазидетерминированных сигналов

Для обнаружения детерминированного сигнала известной формы на фоне помех смесь сигнала и помехи обрабатывается с целью нахождения с максимальной вероятностью сигнала в наблюдаемом случайном процессе. Поскольку форма сигнала известна и нет необходимости ограничивать частотные искажения, вносимые фильтром, добиваются, чтобы в процессе фильтрации обеспечивалось максимально возможное превышение амплитуды сигнала над помехой. Задача решается с помощью оптимального линейного фильтра – частотно-избирательной системы, выполняющей обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом.

Если для обработки сигнала и шума используется стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой h(t), то, согласно теории линейных стационарных систем, детерминированный полезный сигнал х_вх(t) создает на выходе отклик, описываемый формулой, носящей название интеграл Дюамеля:

.

Согласованным фильтром называется такой линейный фильтр, у которого импульсная характеристика h(t₀) (t₀ – зафиксированный момент времени t=t₀) выбрана таким образом, чтобы модуль отклика х_вых (t₀) имел максимальное значение. Следовательно, подлежащий максимизации по модулю отклик имеет вид

. (7.5)

На основании неравенства Коши-Буняковского

. (7.6)

Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу:

, (7.7)

где k – произвольный коэффициент.

Выполнив формальную замену переменной t=t₀-t, получим:

. (7.8)

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию зеркального (относительно оси времени) изображения х_вх(-t) входного сигнала х_вх(t), смещенную по оси времени относительно сигнала х_вх(-t) на отрезок t₀.

Рис.7.4. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

На рис. 7.4 показано построение функции h_согл(t) применительно к некоторому импульсному сигналу х_вх(t) длительностью t_и, возникающему при t=0. Как видно, необходимым (но недостаточным) условием физической реализации согласованного фильтра является следующее: промежуток времени t₀ между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. При несоблюдении этого условия h(t)¹0 при t<0, т.е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра.

Другими словами, для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

Если х_вх(t) – сигнал, по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным, а z_вх(t) – некоторый входной сигнал, не совпадающий с х_вх(t), то отклик фильтра имеет вид

или (7.9)

Выражение (7.9) является не чем иным, как взаимокорреляционной функцией сигналов z_вх(t) и х_вх(t), т.е.:

. (7.10)

В момент времени t=t₀

. (7.11)

Если z_вх(t)= х_вх(t), т.е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован, то, согласно (7.10):

. (7.12)

Это означает, что выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой по времени на отрезок t₀, и следовательно, при согласованной фильтрации формы сигналов на входе и на выходе могут сильно отличаться. На рис. 7.5 это обстоятельство проиллюстрировано на примере построения сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом.

а)

б)

в)

Рис. 7.5. Построение сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом: а – сигнал на входе; б – его автокорреляционная функция; в – сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в момент окончания импульса на входе

Определим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье, связывающим импульсную характеристику и частотный коэффициент преобразования K(jw). С учетом формулы (7.8) получим

. (7.13)

Ведя новую переменную интегрирования y=t₀ – t₁, получим

. (7.14)

Использовав формулу преобразования Фурье, окончательно получим:

, (7.15)

где – функция, комплексно-сопряженная по отношению к ; t – момент времени, в который отношение сигнал/помеха достигает наибольшего значения.

Как видно, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала. Множитель k соответствует усилению, вносимому фильтром, а t₀ влияет на фазовую характеристику фильтра (показатель степени при е). В целом e^-jwt описывает смещение отклика фильтра по оси времени на величину t₀.

Из сказанного следует, что модуль |K(jw)| должен быть пропорциональным модулю спектральной плотности сигнала на каждом малом участке оси частот. Выделяя известный полезный сигнал из смеси с шумом, фильтр пропускает с малым ослаблением только те гармонические колебания, частоты которых отвечают участкам спектра, на которых спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. Примером может служить фильтр с гребенчатой формой АЧХ, используемый для фильтрации смесей, в которых спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (рис.7.6).

Рис. 7.6. АЧХ гребенчатого фильтра (a), соответствующая спектру полезного сигнала (б)

Имеется возможность еще большего повышения эффективности обнаружения согласованного фильтра. Так как в общем случае

,

то сигнал на выходе согласованного фильтра достигает максимума

(7.16)

в момент времени t₀, когда все элементарные составляющие входного сигнала складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.

Задача оценки информативных параметров квазидетерминированных сигналов, наблюдаемых на фоне помех, решается также с помощью оптимального фильтра обнаружения. Такой подход обосновывается тем, что для снижения случайной погрешности оценки параметра А в момент t=t₀ измерения выходного напряжения фильтра, по которому оценивается данный параметр, превышение сигнала х(t) над помехой должно быть максимальным.

Представим квазидетерминированный сигнал в виде

,

где u(t) – известная функция времени, описывающая форму сигнала, наблюдаемого на фоне помех со спектральной плотностью энергии W(jw).

Максимальное значение выходного сигнала фильтра в момент времени t=t₀

. (7.17)

Следовательно, коэффициент масштабного преобразования должен устанавливаться исходя из соотношения

. (7.18)

Структура линейного фильтра, реализующего рассмотренный алгоритм оценки параметра показана на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Структура линейного фильтра:

И – интегратор; Г – генератор;

П – преобразователь

Аддитивная смесь z(t) сигнала х(t) и помехи умножается на образцовый сигнал u(t), формируемый генератором Г в интервале времени (0; t₀), усредняется в И и масштабируется в П. Выходной величиной фильтра являются оценки параметра а сигнала х(t). Образцовый сигнал И(t) определяет импульсную характеристику фильтра линейной оценки, согласованной с формой полезного сигнала.