Аналитическое описание процесса

Рассмотрим задачи без внутренних источников тепла. Аналитическое описание процесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид:

, (1)

где - коэффициент температуропроводности, м²/с (характеризует скорость изменения температуры).

Условия однозначности задаются в виде:

- физических параметров l, с, r;

- формы и геометрических размеров объекта l₀, l₁,…, l_n; (2)

- температуры тела в начальный момент времени: при t = 0 Т₀ = f (x, y, z).

Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий 3-го рода:

.

Дифференциальное уравнение совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение её заключается в отыскании функции

Т = f (x, y, z, t, а, Т₀, Т_ж, l₀, l₁,… l_n),

которая удовлетворяла бы уравнению (1) и условиям (2).

Рассмотрим подробно решение задачи охлаждения плоской однородной стенки. Изучив метод решения задачи, можно понять принцип решения задач и для тел другой геометрической конфигурации.

Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Дана пластина толщиной 2d. Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину считают неограниченной. Коэффициент теплоотдачи a одинаков для всех точек пластины (рис. 12). Изменение температуры происходит в направлении х. В пространстве задача является одномерной.

Рис. 12 К охлаждению плоской неограниченной пластины. При τ = 0 задано Т₀=const и θ₀=const.

Начальное распределение температуры задано некоторой функцией

.

Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой Т_ж = const. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды Т_ж, то есть

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:

. (1)

Начальные условия: при t = 0 θ = θ ₀ = f (x) – Т_ж = F(х).

При заданных условиях охлаждения задача становиться симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины.

При этом граничные условия:

а) на оси пластины при х = 0 ;

б) на поверхности пластины при х = d .

Для решения дифференциального уравнения применяем метод разделения переменных. При этом решение дифференциальное уравнения ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только времени t, а другая – только х:

.

После подстановки этого выражения в уравнение (1), получим:

или

.

В этом уравнение легко разделяются переменные

^. (2)

Левая часть – функция только t, правая только х. Если зафиксировать аргумент х и менять только t, то при любом его значении левая часть уравнения (2) равна постоянной величине, стоящей в правой части, то есть . Аналогично при фиксации t и изменении х правая часть уравнения для любого значения х должна равняться постоянной левой части, которая зависит только от t, то есть .

Так как равенство (2) должно иметь место при любых значениях х и t, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине.

.

Нетривиальное решение для функции y(х) только при e < 0. Положим, что e = - k² :

.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений:

; (3)

. (4)

Постоянная k определяется из граничных условий, а знак «минус» выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, знак может быть только минус.

Уравнению (3) удовлетворяет функция .

Уравнение (4) – функция .

В результате получили общее решение

. (5)

Для того чтобы уравнение (5) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям.

При х = 0 , находим

Þ Þ с₂ = 0

Следовательно, частное решение – должно быть отброшено как не удовлетворяющее граничным условиям.

Если учесть, что с₂ = 0 и обозначить с₁с₃ = А, то уравнение (5) примет вид:

.

При х = d Þ ½ умножив и разделив на d, получим:

,

- число Био – безразмерный показатель (характеризует соотношения внутреннего и внешнего тепловых сопротивлений).

Если обозначить kd = m, то:

(1)

Из анализа этого уравнения следует, что при каждом значении Вi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто это равнение решается графическим способом.

Рис. 13 К решению уравнения (1).

Обозначим через y₁ = сtg m, ^.

Пересечение котангенсоиды у₁ с прямой у₂ дает бесконечное множество корней характеристического уравнения m₁ < m₂ < m₃ <…<m_n (рис. 13).

Каждому значению Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (1). Первые четыре корня такого уравнения приводятся в таблице.

При Вi ® ¥ (внутреннее сопротивление велико по сравнению с внешним) у₂ = 0 – совпадает с осью х и корни будут равны:

m₁ = p/2; m₂ = 3p/2; m_n = (2n-1) p/2

При Вi ® 0 (внутреннее сопротивление мало по сравнению с внешним) прямая совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона стремиться к ¥ ® корни равны:

m₁ = 0; m₂ = p,…, m_n = (n-1) p.

Следовательно, каждому найденному значению корня m будет соответствовать свое частное распределение температур:

, здесь мы учли, что k =μ/δ.

Путем наложения бесконечного числа таких распределений температур можно получить истинное распределение:

. (а)

Постоянная А_n находится из начальных условий:

.

Это есть разложение четной функции в ряд Фурье. Есть специальные формулы для определения коэффициентов А_n._.

Если в начальный момент времени t = 0 температура в любой точке пластины распределена равномерно (Т₀ – Т_ж = θ₀ = const), то:

.

Подставляя А_n в выражение (а), получим

. (б)

Уравнение температурного поля (б) целесообразно представить в безразмерной форме. Для этого разделим правую и левую части уравнения на θ₀ (начальная разность температур). При этом обозначим: D_n = А_n / θ₀. Получим:

, (в)

где Q = θ/θ₀ – безразмерная температура; Х = х/d - безразмерная координата; Fo =aτ/δ² – число Фурье, представляющее собой безразмерное время; D_n = А_n / θ₀ – безразмерный коэффициент.

Получим, что температура каждой точки во времени изменяется по экспоненциальному закону. Распределение температуры по координате х (по толщине) – имеет вид косинусоиды с максимумом в центре пластины.