Статистически неопределенная ситуация

В статистически неопределенной ситуации, когда случайные факторы не имеют статистического описания, выполнить вероятностное осреднение, или найти вероятность не представляется возможным. По этой причине мы не можем воспользоваться принципом наилучшего среднего результата, или принципом вероятностной гарантии. В этой ситуации используют другие подходы.

Игровая ситуация

Эта ситуация, как уже говорилось ранее, предполагает наличие двух сторон: оперирующей, в интересах которой ведется поиск решений, и конкурирующей, которая может противостоять оперирующей стороне (антагонистические игры), сотрудничать с ней (кооперативные игры) или же действовать бессознательно (игры с природой).

Пусть U - вектор управления ( решений) оперирующей стороны,

S - состояние внешней среды (действия конкурента).

а) Оперирующей стороне известно множество возможных действий конкурента, но неизвестно какое именно он выберет. Если при этом конкурент является антагонистом оперирующей стороны, то разумно использовать принцип наилучшего гарантированного результата. Суть принципа заключается в том, что выбор оптимального решения ведется при наихудших значениях факторов управляемых конкурирующей стороной.

В этом случае оптимальное решение запишется в виде

. U⁰ = arg maxmin W(U,S,C) (2.8)

Ф-ла (2.8) отражаетпринцип максимина. В соответствии с ним оперирующая сторона выбирает свое решение в предположении, что конкурирующая сторона информирована о ее возможных действиях, и выбирает такое значение фактора S, которое обеспечивает наихудший результат операции, осуществляемой оперирующей стороной.

Рассуждая аналогичным образом, конкурирующая сторона будет выбирать решения, исходя из ф-лы (2.9), отражающей принцип минимакса.

U⁰ =arg minmax W(U,S,C) ) (2.9)

s u

Эти формулы относятся к случаю, когда обе стороны стремятся к увеличению значений критерия. Если направление критерия изменить, то min и max следует поменять местами.

Рассмотрим ситуацию, когда конкурент помогает оперирующей стороне, т.е. управляемые им факторы принимают значения на множестве стратегий, наиболее благоприятных для операции, осуществляемой оперирующей стороной. Тогда оптимальная стратегия запишется в виде:

U ⁰ =arg max max W(U,S,C), или arg min min W(U,S,C) ------------- (2.10)

^{u s u s}

Этот подход называют принципом максимакса или минимина в зависимости от смысла критерия.

Применение оперирующей стороной принципа (2.10) связано с большой степенью риска. Использовать на практике этот принцип в случае противодействия конкурирующей стороны неразумно. Однако принимать решения с некоторой степенью риска все же возможно. В этом случае можно объединить рассмотренные выше стратегии в одну, Эта смесь, основанная на принципе субъективного риска, определяется Формулой Гурвица:

U⁰=arg max [(1-a) minW(U,S,C)+a maxW(U,S,C)](2.11)

Значения показателя aÎ[0,1] выбирается оперирующей стороной и отражает степень рискованности решения.

При a=0 риск отсутствует и мы получаем принцип максимина, а при a=1 риск наибольший и это принцип максимакса. Его также именуют обобщенным максимином (естественно, что, изменив направление критерия, получим обобщенный минимакс).

Нечеткая ситуация

Наиболее принципиальным моментом, отличающим эту ситуацию от всех предыдущих, является то, что решение носит также нечеткий характер и описывается с помощью функции принадлежности. Иными словами, для принятия окончательного решения надо производить выбор на нечетком множестве. К этой задаче существует несколько различных подходов. Укажем некоторые из них.

а) На нечетком множестве решений выделяется подмножество, для элементов которого значения функции принадлежности не менее, чем а, где «а» - некоторый заданный уровень. На этом подмножестве ЛПР выбирает конкретное решение. Этот подход аналогичен выбору решений на парето-оптимальном множестве. Если функция принадлежности, задающая нечеткие исходные данные, имеет смысл вероятности того, что наудачу выбранный эксперт признает данный элемент принадлежащим нечеткому множеству, то при таком подходе можно утверждать, что решения, принимаемые ЛПР, основываются на данных, поддержанных не менее, чем 100а% экспертов.

б) В качестве оптимального ЛПР выбирает тот элемент нечеткого множества «подходящих» решений, которому отвечает наибольшее значение функции принадлежности. В некотором смысле такое решение можно рассматривать как наиболее надежное.

в) Вычисляется положение центра тяжести фигуры ограниченной функцией принадлежности решений нечеткому множеству «подходящих», и в качестве оптимального, выбирается координата этого центра тяжести.

Помимо указанных существуют и другие подходы к оптимизации решений в нечеткой ситуации. В частности, в / / описан алгоритм нечеткой оптимизации с использованием так называемых нечетких оптимизирующих множеств.