Многочлены степени n и степени не выше n. Проверка выполнимости для них групповых свойств

Вариант №33

Свойства групп. Элемент симметричный к симметричному, симметричный к а*в.

Свойства групп.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

1. Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

2. Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если и оба являются нейтральными, то по определению

и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться или просто e.

3. Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

4. Признак нейтрального элемента

Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем .

5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем: и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Вариант №34

Многочлены степени n и степени не выше n. Проверка выполнимости для них групповых свойств.

Многочлен P_n(x) относительно переменной x вида

P_n(x) = a₀·xⁿ + a₁·x^n-1+ a₂·x^n-2+ … + a_n-1·x+ a_n, (1),

многочлен коэффициент степень разложение

где a₀, a_1, a₂… a_n - действительные числа и a₀ 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням x, или многочленом, представленном вканоническом виде.

Числа a₀, a_1, a₂… a_n называются его коэффициентами, одночлен a₀·xⁿ - называют старшим членом, а число n-степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Пример. Найти числа если многочлен x³+6x²+x+ является кубом двучлена x+.

Решение. Используя определение тождественного равенства двух многочленов, получаем систему:

откуда

Если многочлены Р_n(x), Q_m(x), и K_l(x) таковы, что справедливо тождественное равенство

то говорят, что каждый из многочленов и является делителем многочлена При этом говорят, что многочлен делится (нацело) на многочлен (или , и тогда многочлен (соответственно ) называют частным от деления многочлена на многочлен (соответственно .

Доказывается, что если многочлен степени n делится на многочлен степени m, то частным от деления будет многочлен степени n-m и этот многочлен единственный.

Отсюда следует, что если многочлен степени n делится на многочлен степени n, то , где , т.е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны. Например если известно, что многочлен 2x²+b·x+c делится на многочлен x²-x+1, то b= -2 и c=2.