Стационарная теплопроводность через плоскую стенку

1. Однородная плоская стенка (рис. 9.2).Температура поверхностей стенки t_ст1 и t_ст2.Плотность теплового потока:

q=-λ∙∂t/∂n=-λ∙∂t/∂x=-λ∙(t_cт2-t_cт1)/(x_cт2-x_cт1)

Или

q = λ ∙Δt/Δx. (9.13)

Так как Δx=δ, то

q= (λ/δ)∙Δt. (9.14)

R=δ/λ - термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м²∙К)/Вт]. Поэтому плотность теплового потока:

q=(t_ст1–t_ст2)/R. (9.15)

Общее количество теплоты, проходя-щее через поверхность F за время τ:

Q=q∙F∙τ=(t_ст1–t_ст2)/R·F∙τ. (9.16)

Температура тела в точке с координатой х:

t_x=t_ст1–(t_ст1–t_ст2)∙x/δ. (9.17)

2. Многослойная плоская стенка. Рассмотрим трёхслойную стенку (рис. 9.3). Температура наружных поверхностей стенок t_ст1 и t_ст2; коэффициенты теплопроводности слоев λ₁, λ₂, λ₃; толщина слоев δ₁, δ₂, δ₃.

Плотности тепловых потоков через каждый слой стенки:

q=λ₁/δ₁∙(t_ст1-t_сл1), (9.18)
q=λ₂/δ₂∙(t_сл1–t_сл2), (9.19)
q=λ₃/δ₃∙(t_сл2–t_ст2), (9.20)

Разрешая (9.18)-(9.20) относитель-но разности температур и складывая, получим:

q= (t_ст1-t_ст2)/R_o, (9.21)

где R_o=(δ₁/λ₁+δ₂/λ₂+δ₃/λ₃) - общее термическое сопротивление теплопроводности трёхслойной стенки.

Температура слоев определяется по формулам:

t_сл1=t_ст1-q∙(δ₁/λ₁). (9.22)
t_сл2=t_сл1–q·(δ₂/λ₂). (9.23)

Стационарная теплопроводность через цилиндрическую стенку

1. Однородная цилиндрическая стенка. Рассмотрим однородный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d₁и внешним диаметром d₂ (рис. 9.4). Температуры поверхностей стенки t_ст1 и t_ст2. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах:

Q = -λ∙2∙π∙r·l·∂t/∂r (9.24)

Или, в интегральной форме,

Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁), (9.25)

где Δt=t_ст1–t_ст2 - температурный напор; λ - κоэффициент теплопроводности стенки.

Введём понятие теплового потока единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока):

q_l=Q/l=2·π·λ·Δt/ln(d₂/d₁), [Вт/м]. (9.26)

Температура тела внутри стенки в точке с координатой d_х:

t_x=t_ст1–(t_ст1–t_ст2)·ln(d_x/d₁)/ln(d₂/d₁). (9.27)

2. Многослойная цилиндрическая стенка. Допустим, цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (рис. 9.5). Температура внутренней поверхности стенки t_ст1, наружной t_ст2, коэффициенты теплопроводности слоев λ₁, λ₂, λ₃, диаметры поверхностей слоев d₁, d₂, d₃, d₄.

Тепловые потоки в слоях:
1-й слой

Q=2·π·λ₁·l·(t_ст1–t_сл1)/ln(d₂/d₁), (9.28)
2-й слой

Q=2·π·λ₂·l·(t_сл1–t_сл2)/ln(d₃/d₂), (9.29)
3-й слой

Q=2·π·λ₃·l·(t_сл2–t_ст2)/ln(d₄/d₃). (9.30)

Решая совместно уравнения (9.28)-(9.30), получим для потока через трёхслойную стенку:

Q=2·π·l·(t_ст1–t_ст2)/[ln(d₂/d₁)/λ₁+ln(d₃/d₂)/λ₂+ln(d₄/d₃)/λ₃]. (9.31)

Для линейной плотности теплового потока:

q_l=Q/l=2·π·(t_ст1–t_ст2)/[ln(d₂/d₁)/λ₁+ln(d₃/d₂)/λ₂+ln(d₄/d₃)/λ₃]. (9.32)

Температуру между слоями находим из уравнений:

t_сл1=t_ст1–q_l·ln(d₂/d₁)/2·π·λ₁. (9.33)
t_сл2=t_сл1–q_l·ln(d₃/d₂)/2·π·λ₂ . (9.34)

9.4. Стационарная теплопроводность через шаровую стенку

Пусть имеется полый шар (рис. 9.6), внутренним диаметром d₁ и внешним диаметром d₂. Температура внутренней поверхности стенки t_ст1, температура наружной поверхности стенки t_ст2, коэффициент теплопроводности стенки λ. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в сферических координатах:

Q = -λ·4·π·r²· ∂t/∂r (9.35)