Оценка парных зависимостей. Часть 2

Основы статической обработки экспериментальных данных. Часть 1.

В-7

Цель работы: Ознакомиться с методами статической обработки результатов испытания или обследования строительных конструкций.

Задачи :

1. Освоить процедуру нахождения закона распределения случайной величины.

2. Освоить процедуру построения парной зависимости по экспериментальным данным.

3. Научиться производить оценку статической значимости полученных зависимостей и распределений.

1) Математическое ожидание:

2) Среднеквадратичное отклонение:

3) Проверка совместимости данных:

≤2,72

(грубых ошибок нет)

4) Количество интервалов.

Условие не выполняется, следовательно l принимается равным 7

l=9*7=63

Таким образом, выборка разбивается на 7 интервалов с шагом ∆=9мм

Выборка:

№	x(f)	(x-ˉх)²
		435,9744
		1622,478
		1465,358
		1316,238
		1244,678
		1041,998
		916,8784
		857,3184
		799,7584
		744,1984
		690,6384
		589,5184
		541,9584
		411,2784
		334,1584
		265,0384
		233,4784
		176,3584
		105,6784
		68,5584
		39,4384
		27,8784
		0,0784
		22,2784
		137,3584

Затем, после полученных данных вычисляем характеристики х²в и заносим в следующую таблицу.

№	серед. интер	nk	Распределение Гаусса	Распределение Лапласа
ρk	pk	npk	((nk-npk)^2) /npk	ρk	pk	npk	((nk-npk)^2) /npk
	4,5		0,0126361	0,113725	2,843125	1,636265516	0,004772716	0,042954	1,073861
	13,5		0,0230516	0,207464	5,1866	0,12756339	0,011969172	0,107723	2,693064	18,41
	22,5		0,0271811	0,24463	6,115738	0,203552069	0,021450998	0,193059	4,826475	0,0062
	31,5		0,0227948	0,205153	5,128828	0,248449134	0,011883018	0,106947	2,673679	4,46
	40,5		0,0141713	0,127542	3,188548	0,556	0,005492894	0,049436	1,235901
	49,5		0,0060157	0,054142	1,353538		0,002338967	0,021051	0,526268
	58,5		0,0022772	0,020495	0,512364		0,001173681	0,010563	0,264078

При этом необходимо выполнение условия npk»2. Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то они объединяются с соседними.

Гаусса:

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в к-ый интервал.

Лапласа:

а) Гаусса

х²в=2,77<

б) Лапласа

х²в=22,9˃

Вывод: Сравнение характеристик х²в с теоретическими значениями показывают, что данная выборка может быть удовлетворительно описана для з-на Гаусса, а для з-на Лапласса не удовлетворяется, т.к. не выполняется неравенство.

Оценка парных зависимостей. Часть 2.

Другой задачей статистической обработки эмпирических данных является отыскание зависимости между двумя случайными величинами, одна из которых выступает в качестве аргумента, другая является функцией отклика. Эта задача решается с помощью линейного парного регрессионного анализа, в основу которого положен метод наименьших квадратов. Согласно этому методу линия регрессии, связывающая две случайные величины, строится так, чтобы сумма квадратов отклонений вдоль оси ординат была минимальной:

, (1)

где - экспериментальное значение функции в точке i.

- теоретическое значение функции в той же точке.

Теоретическая линия регрессии может быть линейной

Или носить более сложный характер. Задача сводится к отысканию коэффициентов регрессии a, b , что достигается путем вычисления частных производных функции (1) по параметрам a, b и получения системы нормальных уравнений.

Парный регрессионный анализ осуществляется в следующем порядке:

а) принимается уравнение линии регрессии;

б) вычисляется необходимые суммы для решения системы нормальных уравнений;

в) вычисляются коэффициенты регрессии;

г) определяется значение общей дисперсии

,

где n – число экспериментальных точек;

- среднее значение функции.

;

д) определяется значение остаточной дисперсии

; (2)

е) вычисляется отношение дисперсий и сравнивается с табличным значением F- критерия Фишера при уровне значимости α= 0,05

.

Если неравенство (2) выполняется, считается, что принятое уравнение линии регрессии статически значимо описывает результаты эксперимента.

Выборка:

№№ п/п	x(f)	y(f)	yср
			9,666667
			15,33333
			18,33333
			30,33333
			36,66667
			48,66667

Сравниваются два уравнения линии регрессии: прямая и квадратная парабола.

а)Прямая линия

Вычисление необходимых сумм производится с помощью табл.1 После решения системы нормальных уравнений имеем:

a=-10,6 b=1,9

Среднее значение

Общая дисперсия:

Остаточная дисперсия:

№№п/п	х	у	х²	х³	х^4	ху	х²у
		9,666667				96,66667	966,6667
		15,33333				199,3333	2591,333
		18,33333				293,3333	4693,333
		30,33333				667,3333	14681,33
		36,66667				916,6667	22916,67
		48,66667				1362,667	38154,67
Σ

№	х	у	(у-ˉу)²	ˉу=a+bx	ˉy=a+bx+cx²
ˉу	(y-ˉу)²	ˉу	(y-ˉу)²
			19,14063	3,15	3,4225	9,419	19,52756
		9,666667	71,5434		0,444444	12,623	8,739907
		15,33333	180,0069	14,85	0,233611	16,709	1,892459
		18,33333	257,3351	20,7	5,601111	21,677	11,18011
			478,5156	26,55	2,4025	27,527	6,385729
		30,33333	704,4601	32,4	4,271111	34,259	15,41086
		36,66667	1029,34	38,25	2,506944	41,873	27,10591
		48,66667	1813,34	44,1	20,85444	50,369	2,897939
Σ			4553,682		39,73667		93,14047

Отношение дисперсий:

Принятое уравнение линии регрессии статически значимо описывает результаты эксперимента.

б) Квадратная парабола

Порядок решения аналогичный.

a=5,373 b=0,235 c=0,049

Вывод: По результатам расчетов можно заключить, что оба уравнения удовлетворительно описывают эмпирическую зависимость. За линию регрессии принимается квадратная парабола

, поскольку она дает большее значение F.