Тема1. Основні поняття теорії ймовірностей.

1.КОМБІНАТОРИКА

Нехай множина А містить n елементів. Множина А називається упорядкованою, якщо кожному її елементу поставлено у відповідність деяке натуральне число, тобто елементи занумеровані. Тут істотним є як набір елементів множини, так і порядок їх розташування.

Розміщеннями з n елементів по k ( ) називаються упорядковані підмножини множини А, що містять k елементів, і які відрізняються одна від одної як складом елементів, так і порядком їх слідування.

Число розміщень із n елементів по k (записують ) обчислюється за формулою

(1.1)

де n! називається n-факторіал і визначається за формулою

окрім того, за означенням

0!=1.

Перестановками називаються розміщення із n елементів по n.

Число перестановок із n елементів (записують ) обчислюється за формулою

(1.2)

Сполученнями (комбінаціями) із n елементів множини А по k називаються невпорядковані її підмножини, що містять k елементів, які відрізняються між собою хоча б одним елементом.

Число сполучень із n елементів по k (записують ) обчислюється за формулою

(1.3)

Мають місце рівності

Нехай множина А складається з n елементів: А= . Розміщеннями з повтореннями називаються всі упорядковані k-елементні підмножини (взагалі кажучи, з повтореннями), які відрізняються або складом елементів, або порядком їх слідування. Наприклад, при k=4 множини є різними.

Число всіх розміщень з повтореннями з n елементів по k (записують ) обчислюється за формулою

(1.4)

Нехай множина А містить n елементів k різних типів: n₁ елемент 1-го типу, n₂ елементів 2-го типу, ... , n_k елементів k-го типу, причому n₁+n₂+…+n_k=n.

Перестановками з повтореннями такої множини А називаються будь-які упорядковані множини з n елементів, які можуть повторюватись.

Число всіх таких перестановок (записують P_n(n₁,n₂,…n_k)) обчислюється за формулою

P_n(n₁,n₂,…n_k)₌

Сполученнями з повтореннями називаються невпорядковані k-елементні підмножини (взагалі кажучи, з повтореннями), які відрізняються складом елементів. Наприклад, при k = 4 набори є однаковими для даного експерименту, а набір відрізняється від двох попередніх.

Число сполучень з повтореннями із n елементів по k (записують ) обчислюється за формулою

(1.6)

При розв'язанні задач комбінаторики використовують такі правила.

Правило суми. Якщо деякий об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт В можна вибрати n способами, то вибрати або А, або В можна m + n способами.

Правило добутку. Якщо деякий об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пару об'єктів (А, В) можна вибрати m× n способами.