Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма

Опр.1. Выборкой наз совокупность случайно отобранных объектов.

Опр.2 Генеральной совокупностью наз совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом сов-ти наз число объектов этой совокупности.

Опр.3. Ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по к.-л. признаку. Вариационным рядом (в.р.) наз группировка сов-ти по количественному признаку, т.е. это ряд распределения, сгруппированный по колич. Признаку.

В.Р. будет дискретным, если он остроен подискретному признаку и непрерыным, если – по непрерывному.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. На оси Ох строятся интервалы, над которыми строятся прямоугольники с высотой, равной частоте (относительной частоте) соответствующего интервала.

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.( в случае относительных частот = 1).

Эмпирическая ф-я распределения.(э.ф.р.)

Опр. Э.Ф.Р. (ф-й распределения выборки) наз ф-ю F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х: F*(х)=n_x/n, n_{x –}число вариант, меньших х, n- объем выборки.

Выборочная средняя

Опр. Выборочной средней Хв(над Х необходимо рисовать черточку) наз среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х₁,х₂,…,х_n различны, то

Хв=(х1+х2+…+ х_n)/n.

Если значения признака х₁,х₂,…,х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k =n, то

Хв=(∑_i=1^kn_ix_i)/n, т.е. выборочная средняя есть средняя взвешанная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией Dв наз среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения Хв (с чертой).

Если все значения х₁,х₂,…,х_n различны, то

Dв=(∑_i=1ⁿ(x_i – x_в )²)/n

Если значения признака х₁,х₂,…,х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k =n, то Dв=(∑_i=1^kn_i(x_i – x_в )²)/n, т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешанная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

5. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные

Рассматривая x₁, x₂, … , x_n как независимые случайные величины

X₁, X₂, … , X_n, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения.

Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки, т. е.

М(Θ*) = Θ.

Возможные значения Θ* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия D (Θ*) может быть значительной Þ существует возможность допустить большую ошибку. По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n ® ¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n ® ¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.