Экспериментальный анализ одномерной случайной величины

Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных x₁, x₂,…,x_N. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной случайной величины производят в такой последовательности.

1) Построение вариационного ряда Вариационный ряд z₁, z₂,…,z_N получают из исходных данных путем расположения x_m (m = 1, 2,…,N) в порядке возрастания от x_min до x_max так, чтобы x_min = z₁ £ z₂ £…£ z_N = x_max.

Пусть, например, имеется 5 наблюдений: x₁ = 5; x₂ = 2; x₃ = 4; x₄ =5; x₅ =7. Тогда им соответствует вариационный ряд z₁ =2 ; z₂ = 4; z₃ = 5; z₄ =5; z₅ = 7.

2) Построение диаграммы накопленных частот , являющейся эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой

= (1.16)

где – число элементов в выборке, для которых значение x_j< x. На практике это делается следующим образом:

- на оси абсцисс указывают значения x_m или z_t;

- значение по оси ординат равно нулю левее точки x_min;

- в точке x_min и далее во всех других точках x_m диаграмма имеет скачок, равный ;

- если существует несколько совпадающих значений x_m, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный , где l - число совпадающих точек;

- для величин x > x_max значение диаграммы накопленных частот равно 1. Если N ®¥, то ®F(x)/.

3) Построение гистограммы выборки Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Обычно ее строят следующим образом:

- находят предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось Ох. Это количество К определяют с помощью правила Старджесса:

К = 1 + 3,2 , (1.17)

где найденное значение округляют до ближайшего целого числа.

- определяют длину интервала:

Dx = (x_max - x_min) / К. (1.18)

Величину Dx можно несколько округлить для удобства вычислений.

- Середину области изменения выборки (центр распределения) (x_max + x_min) / 2 принимают за центр некоторого интервала, после чего находят границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от x_min до x_max.

- отсчитывают количество наблюдений N_m попавшее в каждый квант: N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

x_m £ z_t < x_m + Dx

Здесь x_m и x_m + Dx – границы m – го интервала. При использовании формулы (1.19) значения z_t попавшие на границу между (m – 1)-м и m-м интервалами, относят к m-му интервалу;

- подсчитывают относительное количество (относительную частоту) наблюдений N_m/N, попавших в данный квант;

- строят гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m-м интервале (x_m, x_m + Dx) (m = 1, 2,…,К) постоянно и равно N_m/N, или с учетом условия равно N_m/N) Dx.

4) Определение оценок математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения производят по формулам

= , (1.20)

= , (1.21)

= + . (1.22)

вместо ф формуле (1.21) вводится для получения несмещенной оценки дисперсии.