Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Найти следующие интегралы:

1. 1) 2) 3) 4) 5)

1) На основании свойства 4 постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу 1.20., получим ·

2) Используя свойство 4 и формулу 1.21., получим ·

Проверка: Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3) Используя свойства 3 и 4 и формулы 1.21. и 1.20., имеем

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную

4) ·

5) ·

2. 1) 2) .

1) ·

2) ·

3. 1) 2) 3)

1) По формуле 1.22. находим ·

2) Так как , то ·

3) Так как , то ·

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении х выражение

4. 1) 2) 3)

1) По формуле 1.23. при получим ·

2) Так как , то

·

3) Так как , то ·

5. 1) 2) 3)

1) так как то Следовательно,

·

2) Так как то

·

3) Так как , то ·

6. 1) 2) 3) 4)

1) По формуле 1.27. находим ·

2) Так как то . Следовательно,

·

3) По формуле 1.18. находим ·

4) Так как , то ·

7. 1) 2)

1) По формуле 1.29. получаем ·

2) По формуле 1.30. находим ·

8. 1) 2) 3) 4)

1) По формуле 1.31. находим ·

2) ·

3) По формуле 1.32. находим ·

4) ·

Определенный интеграл.

Определенный интеграл и его непосредственное вычисление.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

Определенным интегралом от функции , непрерывной на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл . Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислить следующие определенные интегралы:

1. 1) 2) 3)

По формуле Ньютона – Лейбница получаем:

1) ·

2) ·

3) ·

2. 1) 2)

1) ·

2) ·

3. 1) 2)

1) ·

2) ·

4. 1) 2)

1) ·

2) ·