Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения

1. Ползун. Предположим, что тело (ползун) имеет вертикальную плоскость симметрии; пусть сечение этого тела этой плоскостью представляет собой прямоугольник со сторонами Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru
Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru
Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru
Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Рис.12.5

К ползуну приложены вертикальная нагрузка Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и горизонтальная сила Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , линия действия которых будем считать пересекающимися в центре С прямоугольника. Реакция плоскости основания на ползун приводится к нормальной реакции Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и силы трения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , причем линия действия Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru неизвестна; ее расстояние от точки С обозначим через Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Очевидно, что Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Составим уравнения равновесия плоской системы сил Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Отсюда Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . →

Так как для равновесия Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Так как Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru то Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Будем постепенно увеличивать Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Если Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет предельной величины, после чего начнется скольжение ползуна, если же Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то как только Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru станет больше чем Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru тело, раньше чем начнется скольжение, опрокинется вокруг ребра А.

2. Наклонная плоскость.

Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем примере, но в предположении, что ползун положен на плоскость, наклоненную к горизонту под углом Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

 
  Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Рис.12.6

Усилие, стремящееся сдвинуть тело вдоль наклонной плоскости, равно по величине

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

и направлено

а) вверх, если Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ,

б) вниз, если Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

В случае а) сила трения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru при покое направлена противоположно Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Уравнения равновесия дают

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Для равновесия Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . То есть Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru или Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Если постепенно увеличивать силу Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru от значения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то при Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru равновесие будет иметь место до тех пор, пока Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru не достигает значения, даваемого первым из этих неравенств; когда это значение будет превзойдено, тело начнет скользить вверх по плоскости. Если же Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru достигнет и превзойдет значение, даваемое вторым неравенством, то до наступления скольжения тело начнет опрокидываться вокруг правого ребра B.

В случае б) сила трения будет иметь направление силы Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Как и выше, получим

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Рис.12.7

Если Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то при постепенном уменьшении Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru от значения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru равновесие будет иметь место, пока будет удовлетворено первое неравенство (в противном случае тело станет скользить вниз по наклонной плоскости). Наконец, при Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru равновесие имеет место если соблюдено второе неравенство (в противном случае произойдет опрокидывание вокруг левого ребра А).

В итоге можно сказать, что при равновесии сила P должна удовлетворять (при Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ) неравенствам

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Если ввести в рассмотрение угол трения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то это соотношение можно записать так:

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Заметим, что при Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru тело будет оставаться в равновесии при любом значении Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и при отсутствии силы Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru (самоторможение на наклонной плоскости).

Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; кроме нее, действуют сила тяжести Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , а также нормальная реакция Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru и сила трения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru (рис.12.8(а)).

Как показывает опыт, при достаточно малой величины силы Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис.12.8(а). Согласно этой схеме, т.к. равновесие невозможно главный момент всех сил, действующих на цилиндр Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru Причина выявившего-

ся несоответствия сос-

тоит в том, что в на-

ших рассуждениях

мы продолжаем поль-

зоваться представле-

Рис.12.8 (а) нием об абсолютно

твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью, происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru приложена правее точки С (рис.12.8 (б)).

 
  Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, т.к. момент пары ( Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ) может уравновеситься моментом пары Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой , изображенной на рис.12.8 (в). В отличие от первой схемы к цилиндру приложена пара сил с моментом Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Этот момент называется моментом трения качения.Составим уравнения равновесия цилиндра:

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ,

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ,

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Первые два уравнения дают Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , а из третьего уравнения можно найти Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Тогда Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Как видно, с увеличением модуля активной силы Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru растет расстояние Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступает такое состояние, когда увеличение силы Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru буквой Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru (рис.12.8б). Экспериментально установлено, что величина Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru = Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . (12.4)

Величина Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru называется коэффициентом трения качения.Она имеет размерность длины.

Условие (12.4) можно также записать в виде Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Учитывая, что Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , получим

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Очевидно, что максимальный момент трения качения Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента качения к радиусу цилиндра ( Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru для различных материалов.

Задача. Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти , при каких углах наклона плоскости к горизонту Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru цилиндр будет находится в равновесии, если Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru - радиус цилиндра, Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru - коэффициент трения скольжения, Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru - коэффициент трения качения. Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Решение

Составим уравнения равновесия:

 
  Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Рис.12.9

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ,

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ,

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru .

Кроме того, должно выполняться :

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru

Из первых трех уравнений мы можем определить Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . Подставим эти величины в последние два неравенства, получим

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru ; (12.5)

Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru . (12.6)

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (12.6), если же Некоторые случаи равновесия тел при наличии трения - student2.ru , то нарушается неравенство (12.5) и цилиндр начнет скользить.

Наши рекомендации