Производная и ее приложения

Математика

Контрольные задания для студентов,

обучающихся по очно-заочной форме обучения

по направлению 550400- “Телекоммуникации”

Дисц. "Математика"

Киров 1999

Составитель: к.т.н., доцент .Бучин В.Н.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1-10. Даны векторы a(a₁; a₂; a₃), b(b₁; b₂; b₃), с(c₁, c₂; c₃), c(c₁; c₂; c₃) и d(d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c об­разуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а( 1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c(7; -3; 5), d( 6; 10; 17).

2. а( 4; 7; 8), b ( 9; 1; 3), с (2; —4; 1), d ( 1; —13; —13).

3. а( 8; 2; 3), b ( 4; 6; 10), с (3; —2; 1), d ( 7; 4;11).

4. а(10; 3; 1),b ( 1; 4; 2), с (3; 9; 2), d(19; 30; 7).

5. а(2; 4; 1), b ( 1; 3; 6), с (5; 3; 1), d (24; 20; 6).

6. а( 1; 7; 3), b ( 3; 4; 2), с (4; 8; 5), d ( 7; 32; 14).

7. а( 1;—2; 3), b ( 4; 7; 2), с(6; 4;2), d(14; 18; 6).

8. а( 1; 4; 3), b ( 6; 8; 5), с (3; 1; 4), d(21; 18; 33).

9. а(2; 7; 3),b ( 3; 1; 8), с (2;—7; 4), d (16; 14; 27).

10.2; 1), b ( 4 3; 5), с (3; 4;-2), d ( 2; -5; -13).

11-20. Даны координаты вершин пирамиды А₁A₂A₃A₄. Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между ребрами A₁A₂ и А₁А₄, 3) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂; 7) уравнение плос­кости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертеж.

11.A₁ ( 4; 2; 5), A₂ ( 0; 7; -2), A₃ (0; 2; 7), A₄ (1; 5; 0).

12.A₁ ( 4; 4; 10), A₂ ( 4; 10; 2), A₃ (2; 8; 4), A₄ (9; 6; 4).

13.A₁ ( 4; 6; 5), A₂( 6; 9; 4), A₃(2; 10; 10), A₄ (7; 5; 9).

14.A₁ ( 3; 5; 4), A₂ ( 8; 7; 4), A₃(5; 10; 4), A₄(4; 7; 8).

15.A₁ (10; 6; 6), A₂ (—2; 8; 2), A₃ (6; 8; 9), A₄ (7; 10; 3).

16.A₁ ( 1; 8; 2), A₂ ( 5; 2; 6), A₃ (5; 7; 4), A₄ (4; 10; 9).

17.A₁ ( 6; 6; 5), A₂ ( 4; 9; 5), A₃ (4; 6; 11), A₄ (6;9; 3).

18.A₁ ( 7; 2; 2), A₂ ( 5; 7; 7), A₃ (5; 3; 1), A₄ (2; 3; 7).

19.A₁ ( 8; 6; 4), A₂ ( 10; 5; 5), A₃ (5; 6; 8), A₄ (8; 10; 7).

20.A₁ ( 7; 7; 3), A₂ ( 6; 5; 8), A₃ (3; 5; 8), A₄ (8; 4; 1).

Элементы линейной алгебры

51-60. Дана система линейных уравнений

решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления

51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.

71-80. Найти собственные значение и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

71.	72.
73.	74.
75.	76.

77.	78.
79.	80.

Введение в математический анализ

111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

111. а) в)	б) г)
112. а) в)	б) г)
113. а) в)	б) г)
114. а) в)	б) г)
115. а) в)	б) г)

116. а) в)	б) г)
117. а) в)	б) г)
118. а) в)	б) г)
119. а) в)	б) г)
120. а) в)	б) г)

131-140. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

Производная и ее приложения

141-150. Найти производные данных функций.

141. а) б)

в) г) ; д)

142. а) б)

в) г) д)

143. а) б)

в) г) д)

144. а) б)

в) г) д)

145. а) б)

в) г)

д)

146. а) б)

в) г) д)

147. а) б)

в) г)

д)

148. а)

б) в)

г) д)

149. а) б)

в) г)

д)

150. а) б)

в) г)

д)

151-160. Найти и для заданных функций: а) б)

151. а) б)

152. а) б)

153. а) б)

154. а) б)

155. а) б)

156. а) б)

157. а) б)

158. а) б)

159. а) б)

160. а) б)

181. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R₁, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наименьший объем?

183. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в радиус R.

185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

188. В точках А и В, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F₁ и F₂. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку M₀.

Замечание: Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: .

189. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание: Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y:

190. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно p₁ руб., а стенок - p₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?