Конечные расширения и их связь с простыми алгебраическими расширениями
Заметим, что любое расширение поля можно рассматривать как линейное векторное пространство над полем , векторами которого являются все числа из поля (включая и числа поля ), а скалярами – числа из поля . Проверка для всех аксиом векторного пространства не вызывает затруднений.
Для нас важен случай, когда пространство конечномерно.
Определение 1. Если расширение поля является конечномерным пространством над полем , то называется конечным расширением поля , а его размерность (обозначаемая символом ) – степенью конечного расширения поля .
Теорема 1. Пусть в цепочке полей
каждое поле является конечным расширением поля степени , . Тогда является конечным расширением поля степени .
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма 1. Если система векторов
(1)
есть базис пространства над полем , а система
(2)
есть базис пространства над полем , то система
(3)
является базисом пространства над полем .
Доказательство. Требуется доказать, что система (3) линейно независима в пространстве над полем и каждый вектор из линейно выражается через систему (3).
Пусть выполняется равенство
, (4)
Переписывая это равенство в виде
, ,
и учитывая линейную независимость системы (2), заключаем:
,
Но так как система (1) линейно независима в пространстве над полем , то из последних равенств вытекает:
, ,
Таким образом, равенство (4) возможно только при , т.е. система (3) линейно независима в пространстве над полем .
Пусть . Так как система (2) есть базис пространства над полем , то
, .
Но поскольку система (1) есть базис над полем , что
,
и, следовательно,
что и завершает доказательство леммы.
Из леммы 1 следует, что теорема 1 верна при . Предположим, что теорема верна при , т.е. является конечным расширением поля степени . Но так как есть конечное расширение поля степени , то согласно лемме есть конечное расширение поля степени .
Таким образом, теорема верна при , а, следовательно, и при любом натуральном значении .
Теорема 2. Если – алгебраическое над полем число степени , то система
(5)
является базисом над полем .
Доказательство. Равенство
возможно только при , Так как в противном случае степень числа над полем была бы меньше . Значит, система (5) линейно независима в пространстве над полем .
Пусть . Тогда в силу теоремы 1 §2 , . Если – минимальный многочлен числа , то по теореме о делении с остатком
причем либо , либо степень меньше . Значит,
, ,
то есть линейно выражается через векторы системы (5). Таким образом система (5) является базисом пространства над полем .
Следствие. Простое алгебраическое расширение является конечным расширением поля , причем степень этого расширения равна степени алгебраического над полем числа .
Теорема 3. Если поле является конечным расширением поля степени , то каждый элемент из поля является алгебраическим над полем числом степени , где – некоторый делитель числа .
Доказательство. Так как , то любая система, содержащая более векторов, линейно зависима в пространстве над полем . В частности, если , то линейно зависима система
Это означает, что в поле существуют такие числа , из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, что
последнее равенство и означает, что число алгебраично над полем .
Рассмотрим теперь цепочку полей.
Если система векторов из линейно зависима над полем , то она линейно зависима и над полем , и, следовательно, является конечным расширением поля . Поэтому в силу теоремы 1
где число есть в силу следствия из теоремы 1 степень алгебраического над полем числа .
Таким образом, является делителем числа , что и завершает доказательство теоремы.
Следствие. Все элементы простого алгебраического расширения поля алгебраичны над полем .
Составные расширения
Пусть – множество чисел, не обязательно алгебраических над полем . Присоединим к полю число , затем к полю – число и т.д. В результате получим цепочку полей
,
в которой каждое поле, начиная с , является простым расширением соседнего предшествующего поля. Тогда поле при , называется составным расширением поля .
Заметим, что два соседних поля и могут и совпадать; это возможно тогда и только тогда, когда .
Теорема 1. Составное расширение является минимальным расширением поля , содержащим множество . Иначе говоря, является пересечением всех числовых полей, содержащих поле и множество .
□Обозначим через пересечение всех числовых полей, содержащих подполе и множество . Требуется доказать, что . Включение очевидно. С другой стороны, так как и , то в силу минимальности простого расширения поля справедливо включение . Аналогично, так как и , то в силу минимальности простого расширения поля справедливо включение . Индукцией по легко доказывается и включение . Учитывая ранее отмеченное включение , получим требуемое равенство . ◘
Следствие. Составное расширение не зависит от порядка присоединения элементов . ◘
В дальнейшем, когда порядок присоединения элементов не имеет значения, мы будем обозначать составное расширение через или через .
Следующая теорема дает информацию о внутреннем строении составного расширения.
Теорема 2(о строении составного расширения). Составное расширение есть множество чисел представимых в виде частного значений многочленов от переменных с коэффициентами из поля P от чисел , т.е.
. (1)
Обозначим через правую часть равенства (1). Это множество замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа и, следовательно, является подполем поля . Нетрудно проверить, подбирая соответствующим образом многочлены и , что и . Но тогда в силу теоремы 1 справедливо включение .
С другой стороны, очевидно, что все числа из принадлежат полю , и, следовательно, . Следовательно, , что и требовалось доказать. ◘