Метод сечений в определении внутренних усилий

При действии внешних нагрузок внутри тела возникают внутренние силы, или силы упругости. В сопротивлении материалов и в других прочностных науках они определяются методом сечений. Суть его состоит в следующем (рис. 2.1.): в интересуемом месте тела (бруса, стержня, балки) проводиться сечение а-а; одна из частей тела (например, часть А) мысленно отбрасывается; действие отброшенной части А на оставшуюся часть В заменяется внутренними силами упругости. Используется декартова система координат х и у. Предполагается, что внешние силы P, q, приложены в одной плоскости.

Рисунок 2.1 – Иллюстрация метода сечений для тела

Внутренние силы упругости приводят к трем равнодействующим: продольной силы N,направленной вдоль оси бруса; перерезывающей силы , действующей в плоскости сечения и перпендикулярной к оси бруса; изгибающему моменту M,приложенному в плоскости xОy.

Эти усилия определяются из условий равновесия, называемых также условиями статики:

а) проекция всех внешних и внутренних сил на ось х равна нулю:

б) проекция всех сил на ось у равна нулю:

в) сумма моментов всех сил (произведение силы на ее плечо относительно принятой точки А бруса – см. рис. 2.1, б) равна нулю:

Три уравнения (2.1) – (2.3) соответствуют случаю приложения внешних сил в одной плоскости. Если внешние силы не лежат в одной плоскости, то в поперечном сечении будет шесть внутренних усилий (три силы и три момента относительно осей координат x, y, z).

Если количество неизвестных внутренних сечений равно числу уравнений равновесия, то решаемая задача называется статически определимой. Если же количество усилий больше числа уравнений равновесия – статически неопределимой; при этом разность количества неизвестных внутренних усилий и числа уравнений равновесия называется степенью статической неопределимости.

2.2. Напряжения и их виды

Напряжение – это мера интенсивности внутренних сил упругости. В каждой точке поперечного сечения при произвольном нагружении внутренние силы различны по величине и направлению. Поэтому вводят понятия: среднего и полного напряжения в точке. Рассмотрим их определение в произвольной точке А поперечного сечения бруса (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – К определению напряжений в точке сечения

Выделим в окрестности т. А элементарную площадку , размеры которой значительно меньше размеров сечения бруса. Равнодействующая внутренних усилий на этой площадке . Тогда среднее напряжение в точке рассчитывается по формуле:

Размерность напряжения в системе СИ принимается в единицах: (паскаль), МПа = 10⁶ Па (мегапаскаль), и др.

Среднее напряжение характеризирует среднюю интенсивность внутренних сил по площадке но не может характеризовать напряженное состояние в самой т. А. Если теперь уменьшить площадку «стягивая» ее в точку (но таким образом, чтобы т. А все время оставалась внутри площадки), то получим полное напряжение в точке:

В задачах сопротивления материалов зачастую оперируют не полным напряжением , а с его составляющими (рис. 2.3): нормальное напряжение , действующее перпендикулярно плоскости сечения; касательное напряжение , лежащее в плоскости сечения. Тогда полное напряжение в точке можно вычислить через его сопротивление:

Рисунок 2.3 – К определению напряжений в точке сечения

Если нормальные напряжения растягивающие, то они считаются положительными. Для касательных напряжений в сопротивлении материалов правило знаков не используют.

Произведение любого из напряжений на дает величину элементарной силы: – полной; – нормальной к сечению; - касательной к сечению.

Если внешняя нагрузка действует не в одной плоскости, то удобно пользоваться проекциями полного напряжения на координатные оси x, y, z.

Поскольку целью расчетов на прочность в сопротивлении материалов является проверка условий неразрушимости (прочности) деталей машин, механизмов, элементов конструкции, то рассчитываемые напряжения не должны превосходить допускаемых напряжений , которые устанавливаются нормативными документами. Поэтому проверяют условия прочности: