Статистическое понятие вероятности

Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадания» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу Р («попадание»)= . Но они могут быть и неравновозможны.

Пусть 1-й стрелок постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80 – 90 раз. Второй стрелок на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30–40 раз. Как оценить возможности попадания в цель каждым стрелком? Из практики.

Произведено выстрелов, ℓ
Число попаданий 1-м стрелком, k1
Число попаданий 2-м стрелком, k2
	0,8	0,85	0,866	0,825	0,82	0,816	0,8	0,8125	0,8	0,81
	0,3	0,25	0,266	0,3	0,3	0,316	0,314	0,3125	0,31	0,31

Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов, т.е. отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов. Но видно, что это отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у 1 стрелка около 0,8; а у 2 стрелка около 0,3. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения.

Определение 6.1. Статистической или относительной частотой события А называется отношение числа испытаний k, при которых событие А произошло, к числу ℓ испытаний, при проведении которых могло произойти или не произойти событие А, т.е. к общему числу испытаний и обозначается , т.е. индекс ℓ показывает зависимость статистической частоты от числа испытаний.

Практика показывает, что в случае, когда точно знаешь вероятность в классическом понимании, при достаточно большем числе испытаний ℓ, .

Определение 6.2. Вероятностью события называется то неизвестное число , около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события при возрастании числа испытаний.

Это статистическое определение вероятности случайного события.

Свойства вероятности

1) Вероятность достоверного события равна 1; .

2) Вероятность невозможного события равна нулю;

3) Вероятность любого события подчиняется неравенству; , т.к. , т.е.

Вывод. Вероятность – это мера на множестве событий.

Определение 7.1. Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

Элементы комбинаторики

Определение 8.1. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, так как методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятствующих исходов в разных конкретных случаях. В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о “выборках”. Поэтому мы будем говорить о “выборках”. В комбинаторике рассматриваются виды выборок – перестановки, размещения, сочетания.