Понятие об основных методах интегрирования

М-д непосредственного интегрирования.

Пример:

М-д замены переменной.

Теорема: если F(x)-первообр. f(x), -дифференц. ф-я. Тогда также имеет первообр. Причем

Док-во: По правилам диф. сложной ф-и дает , т.е. -одна из первообр. для . След-но .

Поскольку совпадает с , тогда

Пример:

М-д интегрирования по частям основан на след. форме:

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических ф-ий.

Вычисл интеграла вида , , ,

сводится к вычислению интегралов от рац. ф-ий, роль переменной играет t. если R(sin x cos x) явл. нечетной относительно sin x, то вводят замену cos x= t. Если R(sin x cos x) явл. нечетной относ-но cos x, то вводят замену sin x= t. Если ф-я R (sin x cos x)явл. нечетной относ-но sin x и cos x, то вводят замену tg x=t.

Интегрирование иррац. ф-и

Интегралы типа

вычисляются путем полного квадрата под радикалом и дальнейшей заменой

Тригонометрическая подстановка

Интегралы вида

с помощью замен сводятся к интегралам от рац. ф-ий.

Вопрос №31. Определенные интегралы.

Опред. интеграл и его приложения.

О. Определенным интегралом от ф-и на наз конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент. отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается:

Число a наз нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегр ф-ей, х-переменной интегрирования.

По определению

(1)

след-но велич опред интегр не зависит от переменной интегрир, т.е.

Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз интегрированием на .

Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.

Св-ва опред. интеграла:

при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный

если и интегрируемы на ф-и, тогда ± также интегрируемы. Причем

св-во аддитивности. Пусть разбит на элементарных отрезков след. образом , тогда постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

если интегрируема на (a<b), причем f(x)≥0, тогда

пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на (a<b) и на всем отрезке f(x) ≤ g(x). Тогда

пусть ф-я f(x) интегрируема на (a<b), тогда также интегрируема на , причем

Теорема. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я интегрируема на (a<b) и для всех вып-тся нерав-во , тогда

Теорема. (о среднем значении) Если ф-я непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что

Опред. интеграл с переменным верхним пределом(ОИПВП).

Рассм. ф-ю , интегрируемую на . Пусть , тогда интегрируема на любом отрезке .Предпол, что х меняется на этом отрезке, тогда определена ф-я Ф(х)= . Данную ф-ю наз ОИПВП. ОИПВП явл. непрерывной на ф-ейесли явл. непрерывной, то производная с ОИПВП= значению подинтегральной ф-и для данного предела интегрирования, т.е.

ОИПВП явл. одной из первообр. для непр. подинтегральной ф-и.

Теор.(ф-ла Ньютона-Лейбница). Пусть ф-я непрер на , тогда если ф-я F(x) явл. некот её первообр. на , то справедлива след. ф-ла

Основные методы интегрирования:

Т. (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть -непрерывна на ф-я, тогда если: 1)ф. дифференцируема на и –непрерывна на . 2)множ-вом значений ф-и явл. . 3) , . тогда справедлива ф-ла:

По ф-ле Ньютона-Лейбница, где - нек-рая первообразная на .

Т. (об интегрировании по частям) Если ф-и и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива след. ф-ла:

Приложение определенного интеграла.