Задачи для подготовки к экзамену по высшей математике

(3-ий семестр, ФИМ, 2011-2012 уч.г.)

I. Кратные, криволинейные интегралы.

1. Вычислить повторный интеграл, переходя к полярным координатам: Отв.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Отв:

3. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная окружностью Отв:

4. Изменить порядок интегрирования:

5. Вычислить , где D – область, ограниченная линиями x=0, x= , у=2. Отв:

6. Найти площадь, ограниченную кривыми Отв:

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Отв:

8. Вычислить , если тело V есть шар радиуса R.

Отв:

9. Вычислить , где V ограничена плоскостями х=0,у=0, z=0 и частью сферы в первом октанте.

10. Вычислить , если тело V ограничено поверхностями Отв: .

11. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: , где . Ответ: .

12. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: , где L – правый лепесток лемнискаты . Ответ: .

13. , где АВ – дуга параболы

от А(1, 1) до В(2, 4). Ответ: .

14.Проверить, является ли заданное выражение дифференциалом некоторой функции и в случае положительного ответа найти с помощью криволинейного интеграла.

;

14. Вычислить: .

15. Вычислить , где С – верхняя половина эллипса , , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

16. Вычислить работу силового поля вдоль первой арки циклоиды .

1. По формуле Грина вычислить криволинейный интеграл

, взятый по замкнутому контуру .

II. Поверхностные интегралы. Теория поля.

1.Вычислить div (M) и векторного поля .

2.Вычислить grad U(M₀) и в направлении :

; .

3.Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника АВС, где А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура L – линии пересечения плоскости х + у + z = 3 c координатными плоскостями.

5.Вычислить поток векторного поля (M)=(Р,Q,R) через внешнюю сторону боковой поверхности , если ;

6.Вычислить поток векторного поля через полную поверхность параболоида

7.Вычислить поток векторного поля через поверхность пирамиды

8. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал и найти его, если он существует: ;

III. Числовые и степенные ряды. Тригонометрические ряды Фурье.

1. Исследовать на сходимость, применяя признаки сходимости знакоположительных рядов.

а) б) в) г)

д) е) з)

2. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд: а)

б) в) г)

3. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям (решить задачу Коши), с помощью степенного ряда:

а)

б)

4. Определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости: а) б)

5.Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора:

а)

б)

6. Вычислить с точностью до 0,001:

7. Разложить функцию f(x) в тригонометрический ряд Фурье на данном промежутке:

а) = .

б) =

Экзаменатор ст.преподаватель каф. ВМ Зарипова И.М.