Ряды и числовые последовательности

Задание 1.

1.Формула общего члена последовательности имеет вид: . Найдите первый член последовательности.

2.Формула общего члена последовательности имеет вид: .

Найдите . Формула общего члена последовательности имеет вид: Найдите .

3.Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

4.Последовательность задана рекуррентным соотношением ,

. Найдите .

5.Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

6.Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

7.Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Найдите .

Задание 2. Найдите сумму ряда:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Задание 3.

1.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

2.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

3.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) сходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) расходится.

4.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

5.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

6.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) расходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) сходится, ряд В) сходится.

7.Даны числовыеряды А) и В) . Тогда

1) ряд А) сходится, ряд В) сходится;

2) ряд А) расходится, ряд В) расходится;

3) ряд А) сходится, ряд В) расходится;

4) ряд А) расходится, ряд В) сходится.

8.Из рядов , , , расходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

9.Из рядов , , , сходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10.Из рядов , , , расходящимся является ряд

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 4.

Найдите интервал сходимости степенного ряда , если известен его радиус сходимости :

1. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. , .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:

1.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Найдите радиус сходимости степенного ряда:

5.

6.

7.

8.

Теория вероятностей

Задание 1.

Задача 1

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, будет нечетной, равна

1) 1/2

2) 1/3

3) 5/9

4) 5/8

Задача 2

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равна 6, а произведение 8, составит

1) 1/18

2) 1/12

3) 1/4

4) 1/3

Задача 3

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равна 10, составит

1) 1/12

2) 5/12

3) 1/3

4) 1/4

Задача 4

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что на обеих костях выпадет разное число очков, равна

1) 5/6

2)1/2

3) 3/4

4) 4/5

Задача 5

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что произведение очков, выпавших на обеих костях, составит 12, равна

1) 1/9

2) 1/6

3) 1/3

4) 5/12

Задача 6

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, будет четной, равна

1) 1/2

2) 4/9

3) 2/5

4) 5/9

Задача 7

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что на обеих костях выпадет одинаковое число очков, равна

1) 1/6

2) 1/2

3) 1/12

4) 1/9

Задача 8

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что произведение очков, выпавших на обеих костях, составит 9, равна

1) 1/36

2) 1/6

3) 1/12

4) 1/18

Задача 9

Бросаются 2 игральные кости. Тогда вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, составит 7, равна

1) 1/6

2) 4/9

3) 1/3

4) 5/12

Задание 2.

1.В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется в круге, вписанном в данный квадрат (см. рис.) равна

1)

2)

3)

4)

2. В круг наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного квадрата (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

3. В круг радиуса наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри указанного кольца (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

4. В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного квадрата (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4) 1

5. В ромб наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется в круге, вписанном в ромб (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

6. В круг наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного прямоугольного равнобедренного треугольника (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

7. В квадрат наудачу бросается точка. Тогда вероятность того, что точка окажется внутри вписанного параллелограмма (см. рис.) равна

1) 2) 3) 4)

Задание 3.

1. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что цель будет поражена.

2. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только один стрелок попадет в цель.

3. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только первый стрелок попадет в цель.

4. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1-го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Найдите вероятность того, что только второй стрелок попадет в цель.

5. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 2 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,52. Вероятность попадания в цель для второго орудия равна 0,4. Найдите вероятность попадания в цель первого орудия.

7. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38, а вероятность поражения цели при одном выстреле из первого орудия равна 0.8. Найдите вероятность поражения цели при одном выстреле для второго орудия.

8. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Найдите вероятность попасть в мишень хотя бы один раз.

Задание 4.

1.Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ р₂ р₃ р₄

2) р₁+ р₂+ р₃+ р₄

3) 1- р₁ р₂ р₃ р₄

4) (1- р₁ )(1- р₂ )(1- р₃ )(1- р₄ )

2. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ (1-(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)) 2) р₁ (1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)

3) р₁ (р₂+р₃+р₄) 4) р₁+р₂р₃р₄

3. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) 1-(1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄) 2) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)(1-р₄)

3) р₁+р₂+р₃+р₄ 4) р₁р₂р₃р₄

4. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁+ р₂-р₁р₂)(р₃+р₄-р₃р₄) 2) р₁р₂+р₃р₄

3) (р₁+р₂)(р₃+р₄) 4) (1-р₁р₂)(1-р₃р₄)

5. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ (р₂+р₃-р₂р₃) р₄ 2) р₁(р₂+р₃)р₄ 3) р₁ +р₂р₃ +р₄ 4) р₁(1-р₂)(1-р₃)р₄

6. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁р₂(р₃+р₄-р₃р₄) 2) р₁р₂(р₃+р₄) 3) (р₁ +р₂ )р₃р₄ 4) р₁р₂(1-р₃)(1-р₄)

7. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁ +р₂ )р₃р₄ 2) р₁р₂(р₃+р₄) 3) (р₁+р₂-р₁р₂) р₃р₄ 4) (1-р₁)(1-р₂) р₃р₄

8. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (1-(1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)) р₄ 2) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃) р₄

3) р₄ (р₁+р₂+р₃) 4) р₁р₂р₃+р₄

9. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃, р₄. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁(р₂+р₃-р₂р₃) 2) р₁ (р₂+р₃) 3) р₁ +р₂р₃ 4) 1- р₁(р₂+р₃-р₂р₃)

10. Система состоит из трех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) (р₁+р₂-р₁р₂) р₃ 2) (р₁+р₂)р₃ 3) р₁р₂+р₃ 4) 1- (р₁+р₂-р₁р₂) р₃

11. Система состоит из трех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной работы узлов равны соответственно р₁, р₂, р₃. Вычислите вероятность безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми событиями.

1) р₁ р₂ р₃ 2) р₁+ р₂ +р₃ 3) 1-р₁ р₂ р₃ 4) (1-р₁)(1-р₂)(1-р₃)

Задание 5.

1. Из 10 студентов группы 2 отличника, 3 хорошиста и 5 троечников. Отличник может ответить на все три вопроса билета с вероятностью 0,9, хорошист с вероятностью 0,6 и троечник с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на все три вопроса.

2. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут три дорожки. Если турист пойдёт по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6, по второй – 0,5, по третьей – 0,1. Найти вероятность выхода туриста из леса в течение часа, если выбор любого пути равновозможен.

3. Охотник сделал два выстрела по кабану. Вероятность двух попаданий равна 0,3, одного попадания – 0,5, вероятность промаха 0,2. Двумя попаданиями кабана можно убить с вероятностью 0,7, одним с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

4. На конвейер поступают 20 деталей из первого цеха, 30 деталей из второго цеха и 50 деталей из третьего цеха. Вероятность того, что деталь первого цеха годная равна 0,8, второго – 0,9 и третьего – 0,6. С конвейера случайным образом берётся деталь. Найти вероятность того, что она годная.

5.Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой две торпеды. Вероятность попадания одной торпеды равна 0,5, двух – 0,2, промаха – 0,3. Вероятность гибели крейсера при одном попадании равна 0,3, при двух – 0,8. Вычислить вероятность гибели крейсера.

Задание 6.

1.Пусть X – случайная величина, математическое ожидание которой равно 3. Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X-3.

2.Пусть X – случайная величина, дисперсия которой равна 2. Найти дисперсию случайной величины Y=3X+0,5.

3. Пусть X и Y –случайные величины, имеющие математические ожидания M(X)=2, M(Y)=-3. Найти математическое ожидание случайной величины Z=2X-3Y.

4. Пусть X и Y –случайные величины, имеющие математические ожидания M(X)=-2, M(Y)=1. Найти математическое ожидание случайной величины Z=3X-Y+1.

5.Пусть X и Y –независимые случайные величины, имеющие дисперсии D(X)=1, D(Y)=2. Найти дисперсию случайной величины

Z=4X-3Y-2.

6.Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

Х	-2	-1
Р	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

Найти математическое ожидание случайной величины X.

Х	-2
Р	0,1	0,3	0,6

7.Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

Найти дисперсию случайной величины X.

9.Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

	-2	-1
	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найдите вероятность

10.Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Тогда вероятность равна ¼

Задание 7.

1. График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти значение .

2. Функция плотности равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

Найдите параметр а.

3.Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке Найти вероятность

4. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Чему равно математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины .

5.Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Чему равно математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины.

6. График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Чему равно значение .

7. График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Чему равно значение .

8.График плотности вероятности случайной величины приведен на рисунке. Тогда значение равно…

9.Математическая статистика

1. Найти относительную частоту варианты по данным статистического ряда:

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

.

Найти относительную частоту варианты .

3.Найти относительную частоту варианты по данным статистического ряда:

.

4.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема .

Найдите .

5.Из генеральной совокупности извлечена выборка

. Найдите относительную частоту варианты .

6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

полигон частот которой имеет вид

Найдите относительную частоту варианты .

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Найти число вариант в выборке, если полигон частот, имеет вид

8.По выборке объема составлен статистический

ряд

.

Найти частоту .

9.Определить медиану вариационного ряда 5,7,9,12,12,15,16,17,18,19,21.

10.Определить медиану вариационного ряда 12,13,14,16,17,19.

11.Определить моду вариационного ряда

12.Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): . Найти несмещенную оценку математического ожидания.

13.Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4; 5; 8; 9; 11. Найдите несмещенную оценку ее математического ожидания.

14.По выборке объема найдена выборочная дисперсия . Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

15.Для выборки объема вычислена выборочная дисперсия . Найдите исправленную выборочную дисперсию.

16.По выборке объема найдена выборочная дисперсия Найти исправленное среднее квадратическое отклонение.