Приклади виконання завдань

Зміст

Вступ. 4

Завдання РГР.. 5

Приклади виконання завдань. 20

Література. 37

Вступ

Розрахунково-графічна робота (РГР) з “Вищої математики” має метою опанування студентом методикою аналізу і синтезу конкретних методів рішення типових задач, а також глибоке засвоєння, закріплення, поглиблення й узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні розділів: «Лінійна алгебра. Елементи аналітичної геометрії», «Математичний аналіз функції однієї та декількох змінних».

Тематика РГР відповідає навчальним задачам та робочому навчальному плану предмета “Вища математика”. Завдання РГР обговорені та затверджені на засіданні кафедри “Вищої математики та компьютерного моделюваня” й узгоджена з випускаючою кафедрою.

Зміст розрахунково-графічної роботи: РГР складається з теоретичної та практичної частини і розрахунково-пояснювальної записки; робота виконується на листах формату А4, які оформляються за стандартами РГР. Час виконання РГР не перевищує 15 годин самостійної роботи студента. Розрахунок складається з двох частин. Частина 1: «Лінійна алгебра. Елементи аналітичної геометрії». Частина 2: «Математичний аналіз функції однієї та декількох змінних». У теоретичній частині та розрахунково-пояснювальній записці РГР приводяться теоретичні основи роботи та робляться розрахунки. При виконанні розрахунку студент повинен: а) вивчити теоретичний матеріал по розділах "лінійна алгебра”, “елементи аналітичної геометрії”, “математичний аналіз функції однієї та декількох змінних” в обсязі, передбаченому програмою; 6) письмово виконати теоретичні вправи, загальні для всіх студентів; в) вирішити запропоновані йому індивідуальні завдання, варіант якого відповідає номеру студента за списком у журналі; г) оформити і представити звіт відповідно до графіка виконання самостійної роботи. Захист РГР проводиться перед її керівником. Під час захисту студент повинен уміти відповідати на теоретичні питання, пояснювати рішення теоретичних вправ, завдань, уміти вирішувати аналогічні приклади.

Завдання РГР

Частина 1.

Завдання № 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом матричного числення;

в) методом Гауса.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання № 2. За допомогою теореми Кронекера-Капелі дослідити на сумісність систему рівнянь. У випадку додатної відповіді знайти загальне та яке-небудь часткове рішення системи.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання № 3. Дано координати трьох векторів: і вектор :

у деякому базисі. Потрібно:

1) обчислити модуль вектора ;

2) знайти координати вектора ;

3) знайти кут φ між векторами и ;

4) обчислити проекцію вектора на напрямок вектора ;

5) обчислити площу трикутника, побудованого на векторах і ;

6) обчислити об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Завдання № 4. Дано координати вершин піраміди . Треба:

1) обчислити довжину ребра AB;

2) знайти рівняння площини грані ABC;

3) найти кут між гранями ABC та BCD;

4) скласти параметричні рівняння прямої AB;

5) скласти канонічне рівняння висоти піраміди DK, яка проведена з вершини D;

6) знайти координати точки перетину прямої DK та грані ABC;

7) знайти кут між ребрами AB та BC;

8) знайти кут між ребром AD та гранню ABC;

9) зробити креслення піраміди в системі координат.

1. А (0;-1;3), В(2;1;1), С (-2;0;0), D(-1;1;0). 2. А (1;-1;2), В(3;1;1), С (-1;0;0), D(0;1;0).

3. А (2;-1;2), В(4;1;1), С (0;0;0), D(1;1;0). 4. А (3;-1;2), В(5;1;1), С (1;0;0), D(2;1;0).

5. А (4;-1;2), В(6;1;1), С (2;0;0), D(3;1;0). 6. А (-1;-1;2), В(1;1;1), С (-3;0;0), D(-2;1;0).

7. А (-2;-1;2), В(0;1;1), С (-4;0;0), D(-3;1;0). 8. А (-3;-1;2), В(-1;1;1), С (-5;0;0), D(-4;1;0).

9. А (-4;-1;2), В(-2;1;1), С (-6;0;0), D(-5;1;0). 10. А (-5;-1;2), В(-4;1;1), С (-7;0;0), D(-6;1;0).

11. А (0;-1;3), В(2;3;-2), С (-1;0;4), D(2;1;-2). 12. А (-1;-2;3), В(0;3;-1), С (1;2;-4), D(-2;0;2).

13. А (3;1;-3), В(-2;0;-4), С (0;5;2), D(3;-1;0). 14. А (5;1;-2), В(1;2;-1), С (-2;0;3), D(1;0;-3).

15. А (-5;-1;2), В(7;0;1), С (2;3;3), D(-1;3;-2). 16. А (-6;2;-3), В(1;-3;1), С (2;-2;4), D(2;-1;3).

17. А (-3;4;2), В(2;3;-1), С (5;6;-2), D(-3;1;2). 18. А (-1;2;2), В(1;0;1), С (2;4;-3), D(-1;6;0).

19. А (5;-3;2), В(5;0;-1), С (-2;-3;4), D(1;2;-2). 20. А (2;-1;4), В(3;-3;-2), С (-1;2;0), D(2;-3;6).

21. А (2;-1;-5), В(-1;3;4), С (4;-5;1), D(0;1;2). 22. А (-5;0;2), В(2;-2;1), С (-4;5;-3), D(4;2;3).

23. А (-1;0;-2), В(5;3;6), С (5;0;-3), D(1;-3;0). 24. А (-2;2;3), В(0;-4;2), С (1;2;-4), D(0;1;-4).

25. А (3;0;-2), В(-2;1;6), С (4;0;2), D(3;-1;5). 26. А (1;-2;0), В(-1;6;-1), С (-2;3;3), D(0;2;-4).

27. А (5;3;0), В(-5;2;1), С (0;3;-4), D(-1;0;2). 28. А (-3;1;-4), В(2;1;4), С (-4;1;2), D(3;1;2).

29. А (1;2;0), В(2;6;1), С (2;1;3), D(1;2;4). 30. А (2;3;-1), В(5;2;0), С (1;3;2), D(1;2;2).

Завдання № 5. Дано координати вершин трикутника АВС. Потрібно:

1) обчислити довжину сторони ВС;

2) скласти рівняння сторони ВС;

3) знайти внутрішній кут трикутника при вершині В;

4) скласти рівняння висоти АК, яка проведена з вершини А;

5) знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника (точки перетину його медіан);

6) зробити креслення у системі координат.

1. А (1;-3), В (2;4), С (1;5). 2. А (-1;0), В (1;-4), С (-1;3).

3. А (2;-4), В (-2;5), С(-1;6). 4. А (-3;1), В (0;4), С (2;-3).

5. А (0;-2), В (1;-3), С (2;4). 6. А (-2;3), В (-1;0), С (1;4).

7. А (3;0), В (2;-5), С (1;3). 8. А (3;1), В (-2;3), С (1;-2).

9. А (4;-1), В (0;-2), С (-1;2). 10. А (4;0), В (2;-1), С (3;-1).

11. А (1;-2), В (1;4), С (1;6). 12. А (-2;0), В (1;-2), С (-3;3).

13. А (1;-4), В (-3;5), С (-1;4). 14. А (-2;1), В (1;4), С (0;-3).

15. А (0;-1), В (3;-3), С (2;4). 16. А (2;3), В (-4;0), С (0;4).

17. А (2;0), В (2;-1), С (0;3). 18. А (0;1), В (-1;3), С (2;-2).

19. А (2;-1), В (0;-1), С (0;2). 20. А (3;0), В (0;-1), С (2;-1).

21. А (0;-3), В (2;0), С (1;2). 22. А (-2;0), В (1;-3), С (-1;1).

23. А (2;-1), В (-2;0), С (-1;4). 24. А (-1;1), В (0;3), С (2;0).

25. А (0;-1), В (1;-2), С (2;0). 26. А (-2;4), В (-3;0), С (0;4).

27. А (4;0), В (2;-1), С (0;3). 28. А (0;1), В (-2;4), С (1;-3).

29. А (0;-1), В (3;-2), С (-1;1). 30. А (3;0), В (2;-3), С (0;-1).

Частина 2.

Завдання № 6. Обчислити границі функцій без використання правила Лопіталя:

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

11. а) ; б) ;

в) ; г) .

12. а) ; б) ;

в) ; г) .

13. а) ; б) ;

в) ; г) .

14. а) ; б) ;

в) ; г) .

15. а) ; б) ;

в) ; г) .

16. а) ; б) ;

в) ; г) .

17. а) ; б) ;

в) ; г) .

18. а) ; б) ;

в) ; г) .

19. а) ; б) ;

в) ; г) .

20. а) ; б) ;

в) ; г) .

21. а) ; b) ;

в) ; г) .

22. а) ; b) ;

в) ; г) .

23. а) ; b) ;

в) ; г) .

24. а) ; b) ;

в) ; г) .

25. а) ; b) ;

в) ; г) .

26. а) ; b) ;

в) ; г) .

27. а) ; b) ;

в) ; г) .

28. а) ; b) ;

в) ; г) .

29. а) ; b) ;

в) ; г) .

30. а) ; b) ;

в) ; г) .

Завдання № 7. Обчислити границі функцій з використанням правила Лопіталя:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання № 8. Знайти похідні даних функцій.

1. а) ; б) ;

в) .

2. а) ; б) ;

в) .

3. а) ; б) ;

в) .

4. а) ; б) ;

в) .

5. а) ; б) ;

в) .

6. а) ; б) ;

в) .

7. а) ; б) ;

в) .

8. а) ; б) ;

в) .

9. а) ; б) ;

в) .

10. а) ; б) ;

в) .

11. а) ; б) ;

в) .

12. а) ; б) ;

в) .

13. а) ; б) ;

в) .

14. а) ; б) ;

в) .

15. а) ; б) ;

в) .

16. а) ; б) ;

в) .

17. а) ; б) ;

в) .

18. а) ; б) ;

в) .

19. а) ; б) ;

в) .

20. а) ; б) ;

в) .

21. а) ; б) ;

в) .

22. а) ; б) ;

в) .

23. а) ; б) ;

в) .

24. а) ; б) ;

в) .

25. а) ; б) ;

в) .

26. а) ; б) ;

в) .

27. а) ; б) ;

в) .

28. а) ; б) ;

в) .

29. а) ; б) ;

в) .

30. а) ; б) ;

в) .

Завдання № 9. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

1. а) ; б) . 2. а) ; б) .

3. а) ; б) . 4. а) ; б) .

5. а) ; б) . 6. а) ; б) .

7. а) ; б) . 8. а) ; б) .

9.а) ; б) . 10.а) ; б) .

11. а) ; б) . 12. а) ; б) .

13. а) ; б) . 14. а) ; б) .

15. а) ; б) . 16. а) ; б) .

17. а) ; б) . 18. а) ; б) .

19. а) ; б) . 20. а) ; б) .

21. а) ; б) . 22. а) ; б) .

23. а) ; б) . 24. а) ; б) .

25. а) ; б) . 26. а) ; б) .

27. а) ; б) . 28. а) ; б) .

29. а) ; б) . 30. а) ; б) .

Завдання № 10. Знайти частинні похідні функції .

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. 20. . 21. .

22. 23. . 24.

25. . 26. 27. .

28. 29. . 30.

Завдання № 11. Знайти екстремум функції .

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

Приклади виконання завдань

Частина 1

Завдання № 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом матричного числення;

в) методом Гауса.

Приклади.

Приклад 1.

Дана система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь с трьома невідомими:

Потрібно:

а) знайти рішення системи за допомогою формул Крамера;

б) розв’язати систему за допомогою оберненої матриці.

а)при розв’язанні систем n лінійних рівнянь з n невідомими

;

;

…

можна застосовувати формули Крамера , де - визначник системи з коефіцієнтів при невідомих , а - визначник, який отримується з заміною елементів j –го стовпця елементами стовпця вільних членів стосовно.

Розв’яжемо систему за допомогою формул Крамера. Для цього складемо головний визначник системи з коефіцієнтів при невідомих у лівих частинах рівнянь та три допоміжних визначника:

Обчислимо ці визначники:

Так як ∆ ≠ 0, то дана система має єдине рішення.

Знайдемо рішення системи по формулам Крамера:

б) Запишемо систему у матричному вигляді:

, або AX = B, де

(у другому рівнянні системи відсутня невідома х₃, тому а₂₃ = 0).

Розв’яжемо систему за допомогою оберненої матриці.

1. Визначник тоді обернена матриця існує.

2. Щоб знайти союзну матрицю А^* до матриці А, необхідно обчислити алгебраїчні доповнення всіх її елементів:

Тоді союзна матриця:

3. Знайдемо обернену матрицю:

4. Отримаємо рішення системи за допомогою оберненої матриці (правило «строка на стовпець»):

.

Рішення, яке отримано матричним способом, співпадає с тим, яке отримано по формулам Крамера, що підтверджує правильність цього рішення.

Відповідь:

а) рішення системи по формулам Крамера: ;

б) рішення системи за допомогою оберненої матриці: .

Приклад 2.

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса (послідовного видалення невідомих).

а) випишемо розширену матрицю цієї системи.

б) зведемо матрицю D до «трикутного» виду, з котрого зможемо знайти рішення системи.

Для цього зробимо над строками матриці D елементарні перетворення. До ним відносяться:

- зміна порядку строк (відповідно зміні порядку рівнянь);

- множення строки на відмінне від нуля число (відповідно множенню відповідних рівнянь на це число);

- додання до будь-якої строки матриці D будь-якої іншої її строки, яка помножена на число (відповідає доданню до одного з рівнянь системи другого рівняння, помноженого на число).

Таким чином, у процесі приведення матриці системи до «трикутного» виду виконаємо наступні перетворення:

1) віднімемо з другої строки першу строку, помножену на 5;

2) до третьої строки додамо першу строку, помножену на 3;

3) першу строку залишимо без зміни.

Помножимо другу строку на .

Віднімемо з третьої строки другу і тим самим приведемо розширену матрицю до «трикутного» виду.

Це розширена матриця системи,

яка еквівалентна початковій системі.

Підставляємо значення у друге рівняння, знаходимо :

Підставляємо значення и у перше рівняння, знаходимо :

Відповідь: , , .

Завдання № 2. За допомогою теореми Кронекера-Капелі дослідити на сумісність систему рівнянь. У випадку додатної відповіді знайти загальне та яке-небудь часткове рішення системи.

Приклад 1.

Розв’язання.

Відповідь: система несумісна.

Приклад 2.

Розв’язання.