Непр. Случайная. Величина.

Предмет теории вероятностей.

Используется 2 основных типа моделей:

1)Детерминированная: При повторении заданного опыта в неизменных условиях, событие А происходит всякий раз.

П1. Опыт: К проводнику сопротивлением R приложено напряжение U. А={течет ток I=U/R}.

2) Вероятностная: При повторении опыта в неизменных условиях событие А может произойти или нет. Такие события и опыт называют случайными.

П2. Подбрасывают монету. A={Выпадет «герб»}.

ТВ изучает случайные события и их числовые характеристики.

Статистическая вероятность.

Еще в древности заметили статистическую устойчивость случайных явлений: если случайный опыт повторяется многократно, то отношение числа mn(A) появлений события А к числу n опытов приближается к некоторому числу P*(A). mn(A)/n= P*(A), n – велико.

P*(A) – статистическая вероятность. Используется при составлении частотных словарей, разработке клавиатуры и т.д.

№2 Случайные события и связанные с ними понятия. Алгебраические операции над событиями.

Случайные события.

Случайный опыт – это создание заданного комплекса условий и наблюдение результата. Результат интерпретируется как случайное событие(исход).

Пространство элементарных исходов – мн-во простейших(неразложимых в рамках данного опыта на более простые) взаимоисключающих исходов Непр. Случайная. Величина. - student2.ru так, что опыт всегда заканчивается появлением одного и только одного элементарного исхода Непр. Случайная. Величина. - student2.ru .

Случайное событие – любое подмн-во Непр. Случайная. Величина. - student2.ru пр-ва элем. исходов заданного случайного опыта. Если результат опыта Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , то событие А произошло.

Основные понятия связанные со случайными событиями:

1) Всё пр-во элементарных исходов в Непр. Случайная. Величина. - student2.ru называется достоверным событием. Очевидно достоверное событие происходит в любом опыте.

2) Пустое множество Ǿ Непр. Случайная. Величина. - student2.ru называется невозможным событием. Очевидно невозможное событие не происходит в опыте.

3) Суммой событий А и В называется событие А+В состоящее из элем исходов входящих в мн-во Непр. Случайная. Величина. - student2.ru . Т.о. событие А+В состоит в том что произошло хотябы одно из событий А и В.

4) Произведение А и В это событие сост. из элементарных исходов входящих в мн-во Непр. Случайная. Величина. - student2.ru . Т.о. произведение А и В состоит в том что А и В произошли одновременно.

5) Разность событий А и В – событие состоящее из элементарных исходов, входящих в мн-во А\В. Т.о. событие А произошло, а В нет.

6) Событие А влечет за собой В, если А – подмножество В( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ). Т.о. всякий раз, когда происходит А, происходит и В.

7) Событие Непр. Случайная. Величина. - student2.ru состоит из Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , не входящих в А, называется противоположным А

8) События А и В называются несовместными если нет Непр. Случайная. Величина. - student2.ru входяих в А и в В одновременно.

Св-ва:

1)Коммутативность:

А+В=В+А; АВ=ВА.

2)Ассоциативность:

(А+В)+С=А+(В+С); (АВ)С=А(ВС).

3)Дистрибутивность:

(А+В)С=АС+ВС; А+ВС=(А+В)(А+С).

№3 Классическое определение вероятности.

События равновероятные, если нет объективных оснований для того, чтобы, одно из них было более или менее вероятным чем другое.

Случайный опыт удовлетворяющий условиям:

а) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru конечно.

б) все элем. исходы равновозможны

называется классической схемой.

Пусть Непр. Случайная. Величина. - student2.ru классическая схема, Непр. Случайная. Величина. - student2.ru -число элементарных исходов, Непр. Случайная. Величина. - student2.ru - число исходов благоприятствующих событию А. Тогда вероятность события А:

Р(А)= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru / Непр. Случайная. Величина. - student2.ru - формула классической вероятности.

Св-ва:

1)Р(А)>0

2) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

3)Если А и В несовместны, (АВ= Ǿ), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

№4 Геометрические вероятности

Пусть случайный опыт состоит в случайном выборе точки на прямой R1 или плоскости R2 или n мерного пространства Rn.

На прямой рассмотрим только мн-ва Непр. Случайная. Величина. - student2.ru имеющие длину, на плоскости площадь, в R3-объем, в Rn- обобщенный объем.

Длина, площадь, объем – мера множества Непр. Случайная. Величина. - student2.ru .

Пусть случайная точка Непр. Случайная. Величина. - student2.ru пропорциональна мере А (mes A) и не зависит от других обстоятельств. Такой случайный опыт называется геометрической схемой.

Пусть Непр. Случайная. Величина. - student2.ru геометрическая схема, событие Непр. Случайная. Величина. - student2.ru -измеримое мн-во. Тогда вероятностью события А называется число P(A)=mes(A)/mes( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru )

П1. 2 судна должны подойти к причалу для разгрузки в течении суток. Одновременная разгрузка невозможна. Разгрузка любого из них длится 8 часов. С какиой вероятностью одно будет ожидать разгрузки другого?

х- время прихода однеого

x
y
у – время прихода другого

(х,у) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru в R2

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ={(х,у) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru | Непр. Случайная. Величина. - student2.ru }

A = {(х,у) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru | |x-y| Непр. Случайная. Величина. - student2.ru 1/3}

mes( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru )=1, mes(A)=5/9;

P(A)=5/9

Cв-ва:

1)Р(А) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

3)А и В несовместимы.

№5 Понятие об аксиоматической вероятности

Пусть Непр. Случайная. Величина. - student2.ru событию А, связанному со случайным опытом Непр. Случайная. Величина. - student2.ru сопоставлена P(A). Это означает, что на мн-ве всех событий F определена числовая функция P(A), Непр. Случайная. Величина. - student2.ru .

Чтобы вместе с вероятностью событий А и Непр. Случайная. Величина. - student2.ru можно было найти А+В, АВ, А-В, Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , Ǿ, нужно чтобы эти события входили в F, т.е. чтобы F было алгеброй событий.

Если Непр. Случайная. Величина. - student2.ru конечное или счетное мн-во, то алгеброй событий F будет мн-во всех подмн-в в Непр. Случайная. Величина. - student2.ru .

П1. А={ из 4х карточек 1,2,3 и 4 случайно выбирают одну}

Найдем F:

Ǿ

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Пусть Непр. Случайная. Величина. - student2.ru - множество элем. исходов, F – алгебра событий. Числова функция Р(А), определенная на F, называется вероятностью, если она подчиняется аксиомам:

1) Р(А) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (аксиома неотрицательности)

2) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (аксиома нормировки)

3) Для Непр. Случайная. Величина. - student2.ru и В Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , таких что АВ= Ǿ. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения)

1) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru - вероятность элементарного исхода

В П1 Р Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

№6 Св-ва вероятности

Из основных св-в вероятности:

1) Р(А) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

3)АВ= Ǿ => Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вытекают другие св-ва:

4) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

5) Р(Ǿ)=0

6) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

7) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

8)Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

№7 Условная вероятность и ее свойства. Теорема умножения.

Пусть в случайном опыте Т могут появиться события А и В. Если известно что В произошло то говорят об условной вероятности события А при условии В Р(А/В).

В произошло => реализуется один из N(B) элементарных исходов Непр. Случайная. Величина. - student2.ru . Из N(AB) исходов Непр. Случайная. Величина. - student2.ru благоприятствуют A

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Опр. Пусть ( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ,F,P) – вер. пространства , А, Непр. Случайная. Величина. - student2.ru и Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , тогда усл.вероятностью А наз-тся число :

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Замеч. 1)Аналогично , если Непр. Случайная. Величина. - student2.ru : Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2) Теорема умноженияВер-ть произведения Непр. Случайная. Величина. - student2.ru событий равна вер-ти одного из них и умноженной на усл.вер-ть другой.

1. Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2. Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

3. Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

4)Усл вер-ть обладает всеми св-ми дрю вер-тей.

5) Усл. Вер-ть P(A/B) можно рассм.,как обычную вероятность, определенную на новом про-ве Эл. Исходов Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

6) Для n событий формула : Непр. Случайная. Величина. - student2.ru обобщаеться Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

№8 Независимые события, их свойства. Независимость в совокупности.

Опр. А независимое событие от В , если P(A/B)=P(A)

Свойства:

1) Свойство независимости взаимно, т.е. P(B/A)=P(B)

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Т.е. А и В взаимно независимы.

2) Если А и В независимы , то P(AB)=P(A)*P(B) верно и обратное:

Опр. События А1,A2,A3,…,An независимы в совокупности , если любое из них не зависит от каждого из остальных n от всех возможных произведений этих остальных.

Опр. События A1,A2,…,An независимы в совокупности если : P(A1,A2,…,An)=P(A1)*P(A2)…P(An)

Замечание Для независимости в совокупности недостаточно попарной независимости.

№9 Формула полной вероятности.

Пусть события H1,…,Hn могут произойти в случайном опыте Т. Эти события образуют полную группу событийб если H1+H2+…+Hn= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Если к томуже события {Hz} попарно несовместимы (Hi,Hj Непр. Случайная. Величина. - student2.ru 0, i Непр. Случайная. Величина. - student2.ru j), то они образуют полную группу несовместимых событий , т.е. в каждом опыте происходит одно и только одно из этих событий.

Теорема.

Пусть в случ опыте могут произойти события А,H1,..,Hn, причем {Hi} образуют полную группу несовместимых событий , то Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

A=A* Непр. Случайная. Величина. - student2.ru =A(H1+…+Hn)=AH1+…+AHn

P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)=> теоре. Умножения

P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn)

№10 Формула Байеса

Теорема

Пусть события H1,…,Hn могут произойти в случайном опыте Т. Эти события образуют полную группу событийб если H1+H2+…+Hn= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Если к томуже события {Hz} попарно несовместимы (Hi,Hj Непр. Случайная. Величина. - student2.ru 0, i Непр. Случайная. Величина. - student2.ru j), то они образуют полную группу несовместимых событий , т.е. в каждом опыте происходит одно и только одно из этих событий.

В условиях предыдущей теоремы

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/P(A)

По теореме умножения P(A)*P(Hk/A)=P(A*Hk)=P(Hk)P(A/Hk) /: P(A)

P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk)/P(A))

№11 Схема Бернулли

Повторные испытания – это проведение n раз одного и тогоже случ опыта или проведение одновременное n одинаковых опытов.

Схема Бернулли – это случ опыт состоящий в n повторных испытаниях, причем

1) z исхода (А-успех, (не)А – неудача)

2) испытания независимы , т.е. P(A) не зависит от исходов в др. испытыниях

3) p и q=1-p не изм от пыта к опыту

Найдем вер-ть pn,m появления ровно m раз успеха в серии из т испытаний.

В силу независимости испытаний вер-ть каждого такого исхода равно Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Число таких элементарных исходов Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Потому :

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Случайные велечины

Случайная величина = это числовая переменная, принимающая свои значения в зависимости от исхода некоторого случайного опыта

Опр. Пусть ( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ,F,P) – вер. Пространство, соответствующее случ опыту Т. Числовая функция X=X(w), определенная на Непр. Случайная. Величина. - student2.ru наз-тся случ величиной для Непр. Случайная. Величина. - student2.ru числа x вещественного ( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ) мн-во Непр. Случайная. Величина. - student2.ru x = { Непр. Случайная. Величина. - student2.ru } принадлежит алгебре событий F.Полную инф-ю о случ величине ч содержит ее закон расп-я , позволяющий найти Верн-ть для Непр. Случайная. Величина. - student2.ru события , связанного с x

Опр. Функцией распределения (Вер-тей) случ величины x наз функция : Fx(x)=P{X<x}

Св-ва Fx(x)

1 P{a<=x<b}=Fx(b)-Fx(a)

Пусть есть события {x<b},{x<a},{a<=x<=b}

{x<b}={x<a}+{a<=x<=b}

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2 P{a<=x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)

3 P{a<x<b}= Fx(b)-Fx(a+0)

4 P{a<x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)

5 P{x=a} = Fx(a+0)-Fx(a)

Другие свойства

1 Fx(x) не убыв функция

2 0<=Fx(x)<=1

3 Fx(- Непр. Случайная. Величина. - student2.ru )=0 , Fx(+ Непр. Случайная. Величина. - student2.ru )=1

4 Fx(x) в t точках a Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ГR непр слева

№13 Дискретная случайная величина

Опр Случайная величина X, мн-во значений которой конечно или счетно называеться случайной величиной дискретного типа (СВДТ)

Закон распределения СВДТ описываеться с помощью Fx, но удобнее представлять в виде ряда распределений

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Fx(x)=P{X<x}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Очевидно что сумма =1

Св-ва Fx(x) СВДТ :

а) кусочно постоянная

б) Fx(x)=0 при x<x1

в) в точка xi терпит разрыв 1-го рода

№14 Биноминальное распределение

Дискретная X имеет бин распределение с параметрами n, p(X~B(n,p)), если X принимает 0,1,…,n с Вер-мя p(n,k)= P{X=k}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Очевидно B(n,p) описывает случ число успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли с вер-тью успеха p.

Опр.Пусть X-CВДТ с рядом расп-й причем числовой ряд Непр. Случайная. Величина. - student2.ru сх-ся , тогда m=M[x]= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru наз-ся математическим ожиданием (m-ср.знач.X)

Для бин распр-я:

X= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , где Xk 0 1

P q p

M[x]= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Дисперсия B(n,p):

Т.к. Xk независимы и дисперсия кождого равна pq,то

D[X]= npq

№15 Распределение Пуассона

Теорема Пуассона

Пусть n->бесконечность и p->0 так что np= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru =const , тогда Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Случайная величина X со знач 0,1,2,…,k и вер-ми pk=p{X=k}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru , Непр. Случайная. Величина. - student2.ru >0 имеем распр-е Пуассона с пар Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (X~Pn( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ))

З-и Pn( Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ) описывает явления с большим числом испытаний и малой вер-тью успеха (з-н редких явлений)

Мат ожидание :

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Дисперсия : Dx= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

В данном случае дисперсия равна мат. ожиданию

Непр. Случайная. Величина.

Опр. X наз-ся непр, если Непр. Случайная. Величина. - student2.ru неотриц функция Fx(x)(функция плотности расп-я), так что :

Fx(x)=P{X<x}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Св-ва fx(x) :

1. P{a<=X<b}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

2. для любого a принадлежащего IR P{X=a}=0

3. fx(x)>=0

4. Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (условие нормировки

5. В точках непр-ти : fx(x)=F’x(x)

№17 Нормальный закон распределения

В данном случае t есть сигма.

Непр случайная величина X распределена по нормальному з-ну распр-я с параметрами m,t(X~N(m,t)) если ее функция плотности имеет вид Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Распределение N(0,1) называеться стандартизированным нормальным :

Ф(x)= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru -функция Лапласа

Благодаря св-ву Ф(-x)=(-Ф(x)), x>=0 в таблицу можно приводить значения Ф(x) только для x>=0

Математическое ожидание

M[x]= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru -> M[x]=m

Дисперсия

D[x]= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Найдем для x~N(m, Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ) P{a<x<b}

P{a<x<b}= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

В частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/ Непр. Случайная. Величина. - student2.ru )-1

18. Случайный вектор. Функции совместного распределения вероятностей, её свойства.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

19. Дискретный случайный вектор. Связь закона распределения двумерного случайного вектора с законами распределения его компонент. Независимость случайных величин. Условные законы распределения.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

21. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru
22. Начальные и центральные моменты

Опр. Начальным моментом k-ого порядка X называется число

αk[X]=M[Xk]

1) α1[X]=M[X]

2) X – СВДТ => αk[X]=∑ Xkp

Опр. Центр. моментом k-ого порядка X называется число

Μk[X]=M[(X-M[X])k]

1) Сл.величина X-M[X]=X (с точкой сверху) наз-ся центрир. случ. величиной.

2) μ1[X]=0

Связь между αk[X] и μk[X].

μk=M[(X-M[X]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ]= M[ Непр. Случайная. Величина. - student2.ru X Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (-1) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru (M[X]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ]=

= Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru M[X Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ](M[X]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

=> μk[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru αj[X] * α Непр. Случайная. Величина. - student2.ru [X]

23. Дисперсия случайной величины

Опр. Дисперсией случ.величины X назыв. ее второй центральный момент μ2[X]:

D[X] = M[(X-M[X]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ]

Для X – СВДТ: D[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru pi

D[X] характеризует степень рассеяния, разбросанности значений X вокруг M[X].

Опр. Среднеквадратическим отклонением X назыв. число T[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Свойства:

1. D[X] больше, либо равно 0

2. D[C] = 0, C=const

3. D[X] = M[X Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ]-M Непр. Случайная. Величина. - student2.ru [X]

4.D[cX] = c Непр. Случайная. Величина. - student2.ru D[X]

5.Если X и Y независимы, то D[X+Y] = D[X]+D[Y]

D[X+Y] = M[(X+Y-M[X+Y]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ] = M[(X-M[X]+Y-M[Y]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ] =

= M[(X-M[X]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ]+M[(Y-M[Y]) Непр. Случайная. Величина. - student2.ru ] + 2M[(X-M[X])]*M[(Y-M[Y])] = D[X] + D[Y]
24. Мат.ожидание и дисперсия СВНТ

Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности fx(x), причем Непр. Случайная. Величина. - student2.ru fx(x)dx сходится абсолютно, тогда мат. Ожиданием X называется число M[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru fx(x)dx

Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности fx(x), причем Непр. Случайная. Величина. - student2.ru fx(x)dx сходится абсолютно, тогда дисперсией X называется число: D[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru fx(x)dx

Замечание.

1)M[X] для X – СВНТ обладает теми же свойствами, что и для X-СВДТ

2)Опр-е нач. и центр. моментов сохр. на случай непр. случ. величины. Их свойства зависят от свойств M[X].

П1. X~N(m,τ);M[X] - ?

M[X] = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru dx=…= m = M[X]

П2. X~N(m,τ);D[X] - ?

D[X] = = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru dx=… = Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

25. Функция случайной величины.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru
26. Характеристики распределения случайной величины: мода, медиана, квантили, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

27. Характеристическая функция случайной величины, её свойства.

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Непр. Случайная. Величина. - student2.ru

Наши рекомендации