Для корреляционно-спектрального анализатора

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА И ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЕ

Методические указания к выполнению

лабораторной работы по дисциплине

«ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ САУ»

для студентов специальности 190302 «Вагоны»

всех форм обучения

(4 часа)

Составители: Т.Н. Буштрук

Самара 2015

УДК 681.51.015

Исследование цифровых алгоритмов типовых звеньев : методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» для студентов специальности 190302 всех форм обучения / Т.Н. Буштрук. – Самара : СамГУПС, 2015. – 10 с.

Утверждены на заседании кафедры «Вагоны» 00.00.2015, протокол № 00.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

Данное методическое указание разработано в учебно-исследовательской лаборатории «Моделирования систем управления и телекоммуникаций».

Методические указания предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» специальности 190302 всех форм обучения.

Составители: Буштрук Татьяна Николаевна

Рецензенты: д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Мехатроника в автоматизированных производствах» О.А. Кацюба ;

к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматика, телемеханика и связь

на железнодорожном транспорте» В.Б. Гуменников

Редактор И.А.Шимина

Компьютерная верстка Е.Ю. Шарова

Подписано в печать10.04.2008. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 0,65.

Тираж 100 экз. Заказ № 44.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2015

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА

Введение. В работе [1] описан корреляционно-спектральный метод идентификации квазистационарных процессов сориентированных на применение в системах прогнозирования технических, социальных, геофизических и экономических процессов.

Основными элементами устройств идентификации квазистационарных временных процессов являются четные полосовые фильтры, требования к которым достаточно высоки. Такие фильтры описаны в ряде работ, например в [2,3], однако, фильтры, описанные в них, имеют большое число настроечных параметров (см. [3]). В предлагаемых алгоритмах, обеспечивающих цифровую фильтрацию временных процессов, эти недостатки отсутствуют. В основу синтеза рекуррентных алгоритмов четного полосового фильтра положен метод Z-преобразования, описанный в [4].

Рекуррентный алгоритм. Передаточная функция для четного полосового фильтра имеет вид:

.

Коэффициенты полиномов А₀ и В₀ имеют размерность [Гц²], А₁ и В₁ – [Гц].

При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,

где .

В соответствии с методом Z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы для четного полосового фильтра определяется соотношением:

,

где , .

Тогда:

;

;

;

;

;

.

Рекуррентный алгоритм имеет вид:

+ ,

при начальных условиях х[0] = x[-1] = y[0] = y[-1] = y[-2] = 0.

.

Передаточную функцию W(S) запишем в следующем виде:

,

где [Гц²], - резонансная частота четного полосового фильтра,

С=А₀/В₀, а А₀=С·В₀, С- масштабный коэффициент. Перепишем W(S) в следующем виде:

.

Учитывая, что Dw=w_р/Q, Δω – полоса пропускания фильтра на уровне 0.707 ,

Q – добротность, получим:

.

Вводя отношения m=B₁/Dw, , где m и d – масштабные коэффициенты, получим:

.

Далее определяем корни характеристического уравнения:

.

Они имеют вид:

,

.

Для осуществления нормировки четного полосового фильтра определяем импульсно-переходную функцию:

,

где L^-1[·]- обратное преобразование Лапласа. Производная от характеристического полинома имеет вид:

,

,

;

С учетом всех подстановок импульсная – переходная характеристика имеет вид:

.

С ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки:

[рад/сек], [рад],

[ рад/сек], [рад],

[рад], [рад].

При высоких добротностях выражение для импульсной - переходной функции нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

[рад/сек],

где Q/m = (2p·d)/(Dt·N) [рад].

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид:

.

Рекуррентный алгоритм для нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

Результаты моделирования.Результаты расчета проверки работоспособности алгоритма приведены в таблицах 1, 2 и 3 и на рисунках при воздействии сигнала вида d-функция.

В таблице 1 приведены данные моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

Таблица 1

n		n		n		n		n
	4,8557		-2,416		-0,887		3,1256		-3,282
	4,0286		-0,767		-2,324		3,6149		-2,729
	2,6103		0,9646		-3,383		3,5497		-1,776
	0,8260		2,5181		-3,910		2,9506		-0,573
	-1,048		3,6618		-3,838		1,9184		0,6921
	-2,727		4,2312		-3,189		0,6170		1,8289
	-3,963		4,1516		-2,071		-0,752		2,6679
	-4,577		3,4477		-0,663		-1,981		3,0883
	-4,489		2,2377		0,8171		-2,887		3,0350
	-3,726		0,7139		2,1460		-3,341		2,5251

Рисунок -1. Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 2 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

Таблица 2

	4,7138		-1,622		-0,569		1,2941		-1,000
	3,6651		-0,379		-1,301		1,4403		-0,808
	2,1591		0,8260		-1,788		1,3646		-0,513
	0,4506		1,8194		-1,976		1,0948		-0,164
	-1,194		2,4713		-1,861		0,6851		0,1815
	-2,540		2,7121		-1,481		0,2060		0,4750
	-3,413		2,5376		-0,914		-0,267		0,6767
	-3,720		2,0048		-0,255		-0,665		0,7641
	-3,459		1,2186		0,3907		-0,936		0,7330
	-2,711		0,3134		0,9309		-1,049		0,5970

Рисунок. – 2 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 3 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 2, N = 32, m = 1,C = 0;

Таблица 3

	4,4424		-0,829		-0,132		0,1949		-0,096
	3,0306		-0,145		-0,339		0,2212		-0,083
	1,4517		0,4374		-0,462		0,2122		-0,060
	-0,046		0,8556		-0,499		0,1755		-0,033
	-1,271		1,0811		-0,461		0,1211		-0,006
	-2,101		1,1169		-0,365		0,0596		0,0160
	-2,493		0,9919		-0,236		0,0008		0,0327
	-2,471		0,7521		-0,098		-0,047		0,0418
	-2,111		0,4511		0,0294		-0,080		0,0436
	-1,523		0,1414		0,1301		-0,096		0,0390

Рисунок. -3 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 2, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 1 Q=20, N=32, m=1,C=0; в таблице 2 Q=5, N=32, m=1,C=0; в таблице 3 Q=2, N=32, m=1,C=0;

Теоретическая часть

Передаточная функция для звена любого порядка имеет вид

, где n>m.

От передаточной функции W(S) необходимо перейти к передаточной функции эквивалентной импульсной системы:

.

По известным коэффициентам A_m, A_m-1,…,A₀ и B_n, B_n-1,…, B₀ можно определить коэффициенты a₀, a₁,…,a_l и b₁,…,b_k. Используя передаточную функцию эквивалентной импульсной системы, находят разностное уравнение (рекуррентный алгоритм) для моделирования линейных динамических звеньев в классе дробно рациональных передаточных функций.

.

Символ * обозначает, то что эквивалентная импульсная система имеет такие же свойства, как и непрерывная система. Начальные условия задаются следующими формулами x[0]=0, x[-1]=0, x[-l]=0, y[0]=0, y[-1]=0, y[-k]=0.

В основу синтеза рекуррентных алгоритмов положен метод z-преобразования. При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,

где .

В соответствии с методом z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы определяется соотношением:

,

где , .

В лабораторной работе рассматриваются следующие звенья с передаточными функциями и строятся рекуррентные алгоритмы:

1) Звено первого порядка. Для него имеем:

.

Приравнивая знаменатель этого выражения к нулю, находим корень характеристического уравнения:

.

Тогда для звена первого порядка получим:

; ,

где тогда .

, , .

С учетом полученных выражений разностное уравнение для звена первого порядка имеет вид

.

Время переходного процесса для звена первого порядка определяется по следующей формуле:

.

2) Звено второго порядка, передаточная функция которого имеет вид

,

корни характеристического уравнения принимают значения: , . С учетом метода z-преобразования имеем:

;

;

;

;

где - относительное время, .

, при C>1.

С учетом проведенных преобразований записываем передаточную функцию эквивалентной импульсной системы для звена второго порядка

, ,

по которой определяется разностное уравнение:

.

Отсюда окончательно получаем:

.

В лабораторной работе рассматривается также вариант передаточной функции для звена второго порядка следующего вида:

.

Эта передаточная функция описывает важный класс звеньев второго порядка типа четных полосовых фильтров. Для нее корни характеристического уравнения имеют вид

, .

Параметры разностных уравнений определяются следующими формулами:

;

;

;

;

где тогда

, при C>1

.

С учетом полученных коэффициентов передаточная функция эквивалентной импульсной системы принимает следующий вид:

,

, .

От эквивалентной импульсной системы осуществляется переход к разностному уравнению:

.

Передаточная функция для звена второго порядка может быть представлена еще в одном виде, удобном для физической интерпретации процессов:

,

где [Гц²]. Вводя обозначения, , => (следовательно) , получим:

.

Учитывая связь между полосой пропускания (определяемой на уровне 0.707) и добротностью,

,

где Δω – полоса пропускания, Q – добротность. Окончательно получим:

,

где ; .

Далее определяем импульсно-переходную функцию:

,

где N(S) и M(S) соответственно полиномы числителя и знаменателя W(S), M`(S) производная по S

Отсюда имеем:

.

Для четного полосового фильтра с ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки для четного полосового фильтра определяется следующими соотношениями:

[рад/сек] [рад]

[ рад/сек] [рад]

[рад]; ,

где ω_р×Dt=2×p/N, Dt – шаг дискретизации по времени.

da – коэффициент прорежения; g – коэффициент запаса.

[1/сек].

По степени экспоненты определяется время переходного процесса как в четном, так и нечетном фильтрах. Отсюда имеем:

.

Время переходного процесса полосового фильтра определяется с инженерной точностью.

Условие нормировки для нечетного полосового фильтра определяется следующими соотношениями

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид

С условием нормировки формула для передаточной функции нечетного полосового фильтра принимает вид