Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, правило Крамера

Линейная алгебра и геометрия.

Определители и их свойства.

Определителем квадратной матрицы А=( ) наз. число и обозначается |А| и сопоставляется матрице А по определенному правилу.

1)опред. первого порядка( n=1),т. е. опр. Матрицы А=(a), наз. само число a , которое стоит в этой матрице |А|=a.

2)опред. второго порядка (n=2), т. е. опред. матрицы А= , наз. число |А|= = равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

3)опред. третьего порядка(n=3),т.е. опред. матрицы А= наз. число, определяемое по формуле |А|= .

Правило треугольников(правило Саррюса)

«+» «-»

Свойства определителей:(для любого порядка)

|А|=( ) и в виде набора трех ее строк |А|=˂ ˃

1)кососиметричность. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки, то опред. изменит знак. ˂ ˃=- ˂ ˃.

2)если в определителе какая-то строка, например первая, представляется в виде суммы двух строк : , то определитель равен сумме двух опред. ˂ ˃=˂ ˃+˂ ˃

3)если какую-то строку опред. умножить на число, то опред. умножится на это число.(общий множитель строки можно вынести за знак определителя)

˂

1-3 – основные правила

4)если в опред. две строки равны, то опред. равен нулю.

5)если в опред. какие-то две строки пропорциональны , то опред. равен нулю.

Элементарные преобраз. Первого рода i-ую и j-ую строки меняют местами,

Вторго рода: к i-ой строке прибавляется j-ая, умноженная на число λ

6)при элементарных преобразованиях второго рода опред. не меняется

7)при транспонировании опред. не меняется.

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении опред. по элементам строки или столбца.

Минором элемента опред. |А| порядка n назыв. опред. порядка n-1, который получается вычеркиванием из А строки и столбца, в которой стоит элемент А= , =| |

Алгебр. Дополнение = , т. е. =

Для опред. третьего порядка знаки таковы

Теорема. Опред. равен сумме произведений элементов какой-то строки(столбца) на соответствующие алгебраич. дополнения. Например: разложение опред. третьего порядка по первой строке:|А|=

Док-во

Сгруппируем и вынесем за скобки:|А|= = =

системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, правило Крамера.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными наз. система вида

Решением системы наз. набор чисел. Решить систему значит найти все ее решения., если имеется хотя бы 1 решение-совместная, иначе несовместной. если единственное решение-определенная ,две системы наз. эквивалентными(если имеют одинаковые решения.)

Обозначим через Δ опред. Системы , а через , i=1,2,3

Δ=|A|= , Δ1= , Δ2= , Δ3= .

Правило Крамера: теорема. 1)если опред. системы Δ‡0, то система совместна и определена, и ее единственное решение находится (в случае n=3) по формулам Крамера: , ,

2) если Δ=0, а хотя бы один из ‡0, то система несовместна.

Если n=2, то теорема:для системы линейных уравнений второго порядка возможны 3 случая: