Обзор основных элементарных функций.

Линейная функция

,

где – константы. – угловой коэффициент наклона прямой, , где – угол между прямой и положительным направлением оси (см. рис.1).

2)

Примеры:

Квадратичная функция

,

где – константы. График - парабола. Если , то ветви параболы направлены вверх, если – то вниз.

Корни функции:

Координаты вершины параболы:

;

Заметим, что если , то (два совпадающих корня!).

Пример.

. Находим корни функции из уравнения : . Координаты вершины этой параболы:

; . (см. рис.2).

Дробно-линейная функция

.

График – гипербола. Частный случай: – "обратная пропорциональность" (см. рис. 3).

Показательная функция

(см. рис.4).

Логарифмическая функция

(см. рис.5).

Степенная функция

( – любое действительное число)

1) ( – натуральное число) (см. рис.6):

2) ( – натуральное число) (см. рис.7):

3) – несократимая дробь (см. рис.8):

При построении таких графиков надо учитывать четность и , а также соотношение между и : или . Например, если чётно, то (см. рис.(1)); если нечётно, то (см. рис. (2) – (4)). Если чётно, то – чётная функция; если нечётно, то – нечётная функция. Если , то при график функции ведет себя, как график функции , а если , то – как график функции .

Функция

(см. рис.9)

Нечетная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:

; ; ; ;

; .

Функция

(см. рис.10)

Четная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:

; ; ; ;

; .

Функция

(см. рис.11):

Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функции в точках ; ; ; и т.д. вычисляются по значениям функций и .

Функция

(см. рис.12):

Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функции в точках ; ; ; и т.д. вычисляются по значениям функций и .

Функция

(арксинус числа – это такое число , что ) (см. рис.13):

Функция

(арккосинус числа – это такое число , что ) (см. рис.14):

Функция

(арктангенс числа – это такое число , что ) (см. рис.15):

Функция

(арккотангенс числа – это такое число , что ) (см. рис.16):

Примеры:

1)Найти для следующих функций:

а) .

▲ Т.к. знаменатель дроби, задающей функцию, не должен равняться нулю, то

.

б) .

▲ Т.к. функция задается при помощи корня чётной степени из выражения , то , и

.

2)Выяснить чётность следующих функций:

а) .

▲ Функция – чётная, т.к. симметрична относительно точки и для .

б) .

▲ Функция – нечётная, т.к. симметрична относительно точки и для .

в) .

▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. : и . В качестве можно взять, например . (Заметим, что симметрична относительно точки ).

г) .

▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. не симметрична относительно точки .

3)Найти значение функции в заданной точке :

а) , , ; .

▲ , .

б) , .

▲ .

Задачи для самостоятельного решения.

I. Найти :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 14) .

II. Выяснить четность следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

Ответы:

I. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ; 14) .

II. 1), 2), 5) – функция ни четная, ни нечетная;

3), 6), 7), 10), 11) – функция нечетная;

4), 8), 9) – функция четная.

Занятие 2.

Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей

Координат.

Определение.Основные элементы полярной системы координат – полярная ось и полюс. По отношению к ним определяется положение точки на плоскости. Полярные координаты точки – это пара чисел , где – расстояние от до полюса , а – это угол между полярной осью и . (см. рис.1).

Пусть полярная система координат расположена так, что полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью . Пусть точка имеет декартовы координаты и , т.е. , а полярные – и , т.е., с другой стороны, (см. рис.2).

Тогда:

;

Примеры:

1)Даны декартовы координаты точки : . Найти её полярные координаты, т.е. и .

▲ Имеем: , ,

.

2)Даны полярные координаты точки : . Найти её декартовы координаты, т.е. и .

▲ Имеем: ,

.

3)Задать кривые в полярных координатах (при помощи уравнения ).

а) ; б) ; в) .

▲ Подставим в уравнение кривой вместо выражение , а вместо – выражение , и выразим через :

а) ;

б) ;

в) .