Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или ,где
. Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
17.Кривые второго порядка(уравнение, вид графика, особенности). Подробно любые 2 кривые.Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
где - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел a,b,c отлично от нуля.
Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек F1 иF2 , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c: .
Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.Число ( )называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною 2а ). Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и , , .
Гипербола – геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c: .
Гипербола, заданная каноническим уравнением: симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и -вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY. Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью. Число , называется эксцентриситетом гиперболы.Гипербола, заданная каноническим уравнением : ИЛИ называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX. В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , .
18.Множества.Способы задания множества. Множество-совокупность каких-либо элементов, объединенных некоторыми общими признаками. Каждый элемент множества представляет собой единицу данного множества. Элементы обозначают маленькими латинскими буквами, множество обозначается большими латинскими буквами. А={а1,а2,...,аn}. Основоположником теорий множеств является немецкий математик и физик Георг Кантор. Способы:1)явный(или перечислительный). Состоит в перечислении всех элементов множеств. Например: А={1,2,4,5}. 2)Описательный. Состоит в том, что указывают условия по которым выбираются эти и только эти элементы множества, т.е описывается признак характеризующий все элементы множеств. Например: А={аI(а2-4)=0} В={bIb-день недели}. Описательный способ задания множества используется в алгебре высказываний, т.к указываемый признак и есть высказывание. Рассматриваются только те множества, элементы которых определены точно без противоречий и состав которых не вызывает сомнений.
19.Операции над множествами(объединение, пересечение). 1)Объединение множеств(операция сложения). Объединением множеств А ∪ В назыв множество С состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы 1 из множеств А и В, либо принадлежат и множеству А и множеству В. Замечание.Если 1 и тот же элемент входит и во мн-во А, и во мн-во В, то в их объединение этот элемент включают 1 раз.Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}. 2)Пересечение множеств. Пересечением мн-в А∩В назыв мн-во С, состоящее из элементов, которые принадлежат как мн-ву А, так и мн-ву В. Обозначают: А ∩ В=С={сIс принадлежит А и с принадлежит В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}.
20.Операции над множествами(разность множеств, симметрическая разность). Разность мн-в. Разностью мн-в А \ В назыв мн-во С, состоящая из элементов, которые принадлежат мн-ву А, но не входит во мн-во В, обозначают А\В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2}. Симметрическая разность мн-в. Симметрической разностью А и В назыв мн-во С, состоящая из элементов, которые принадлежат какому-то 1 из элементов А или В, и обозначают АДВ.Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Д В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}.
21.Множества. Дополнение мн-в. Множество-совокупность каких-либо элементов, объединенных некоторыми общими признаками. Каждый элемент множества представляет собой единицу данного множества. Элементы обозначают маленькими латинскими буквами, множество обозначается большими латинскими буквами. А={а1,а2,...,аn}. Основоположником теорий множеств является немецкий математик и физик Георг Кантор. Разность мн-в В\А по-другому называют дополнением мн-ва А до мн-ва В.Любое мн-во может являться дополнением универсального множества.
22.Множества. Правила суммы и разности мн-в.Множество-совокупность каких-либо элементов, объединенных некоторыми общими признаками. Каждый элемент множества представляет собой единицу данного множества. Элементы обозначают маленькими латинскими буквами, множество обозначается большими латинскими буквами. А={а1,а2,...,аn}. Основоположником теорий множеств является немецкий математик и физик Георг Кантор.
23.Теория вероятностей. Предмет и история развития. Теория вероятности- матем. наука, изучающая закономерности случайных процессов.Предметом изучениятеорий вероятности являются закономерности массовых, однородных, случайных событий. Теория вероятности позволяет по данным вероятностям 1 случайных событий находить вероятности других событий ,связанных каким-то образом с первоначальным. История развития.Становление ТВ, как матем науки относится к 17 веку и связана с покупкой создания теории азартных игр. Ее основателями считают математиков Ферма и Паскаль. На развитии ТВ значительное влияние оказали исследователи Граунт и Петти, которые изучают демографию государств(политическую арифметику).К концу 17 века накопились обширные сведения о случ событиях, классифицировал понятие вероятности и определил их Ян Бернулли. Дальнейшее развитие ТВ связано с потребностями развития естествознания и общественной практики(теории ошибок, теория стрельбы и проблемы статистики народонаселения). Значительную роль в развитие ТВ 17-19 в сыграли такие ученые как: Муавр, Лаплас, Гаусс,Пуассон, и российские ученые: Чебышев, Ляпунов, Марков, Хинчин, Калмогор. В настоящее время матем аппарат ТВ нашел широкое применение при изучении массовых явлений в технике, обществе и др. естественных науках(химия, биология).
24.Теория вероятностей. Определение вероятностей.Теория вероятности- матем. наука, изучающая закономерности случайных процессов. Впервые понятие вероятности было введено в 17 веке, и определялось, как численная мера, возможность наступления случайного события. 1)Классическое определение вероятности.Оно основано на предложении о равно возможности событий, составляющих полную группу. Равно возможность таких событий исходит их их симметричности в испытании и не определяется формальным обрзом, а лишь поясняется в примерах. Пусть исходы некоторого испытания, которые образуют группу событий, равновозможным, и их число конечным, тогда говорят, что испытанием сводится к схеме случаев при котором данные исходы назыв элементарными.Элементарные исходы при которых наше событие наступает назыв благоприятствующими событиями. Определение. Вероятность случ события А=отношению числа исходов, благоприятствующихся этому событию, к общему числу элементарных исходов: Р(А)=m/n. 2)Статистическое определение вероятности. С ростом общего кол-ва элементов(исходов) частота событий будет приближаться к вероятности этого события, поэтому: Р(А)=lim m/n(предел n стемится в бесконечность).Отношение р=m/n числа m появлением событий А при n испытаниях назыв частотой этого события.С ростом n частота события в опред смысле приближается к вероятности p этого события. Пусть производятся независимые испытания, при каждом из которых вероятность события А неизменно. В этом случаи справедливо утверждение, которое назыв законом больших чисел (теоремой Бернулли). Если число испытаний достаточно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, отличие частоты события А от его вероятности меньше любого заранее заданного полож числа.
25.Теория вероятностей. Алгебра событий.Теория вероятности- матем. наука, изучающая закономерности случайных процессов. Впервые понятие вероятности было введено в 17 веке, и определялось, как численная мера, возможность наступления случайного события. Определение.Суммой событий А и В назыв событие С, состоящее в наступлении по крайней мере 1 из событий А или В. Произведением событий А и В назыв событие С, состоящее в том, что в результате испытания произошли и события А, и события В. Произведением несовместных событий-события невозможные. События А и В несовместные(теорема сложения вероятностей)-Р(А или В)=Р(А)+Р(В);(теорема умножения вероятностей)-Р(А или В)=Р(А*В)=Р(А)*Р(В). События А и В совместные(теорема сложения вероятностей)-Р(А или В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ); (теорема умножения вероятностей)-Р(А или В)=Р(А)*РА(В)=РВ(А)*Р(В). Условная вероятность-вероятность появления события А при условии, что произошло событие В, обозначают: РВ(А). Событие А и В назыв независимыми, если условная вероятность РВ(А) =вероятности р(А)= РВ(А)=Р(А),т.е для независимых событий 1 из них не влияет на вероятность появления другого.
26.Теория вероятностей.Случайные величины. Теория вероятности- матем. наука, изучающая закономерности случайных процессов. Впервые понятие вероятности было введено в 17 веке, и определялось, как численная мера, возможность наступления случайного события. Случайные величина- переменная величина, конкретное значение которого зависит от случая. Для хар-ки случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины.
27. Комбинаторика. Правила суммы. Комбинаторика - это раздел математики, который изучает вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненные тем или иным правилам можно составить из заданных объектов. Задачи решаемые в комбинаторики называются комбинаторными задачами в этих задачах необходимо подсчитать сколькими способами можно сделать тот или иной выбор или выполнить какое либо условие. Основы теоретических положений в комбинаторике были разработаны французскими учеными Паскалем и Фермой в 17 веке. Дальнейшее развитие комбинаторика получила в трудах - Бернулли, Лейбница и Эллером. Правила суммы для выбора двух объектов:если объект А можно выбрать n способами, а объект В можно выбрать m способами, то выбор "или А или В" можно осуществить n + m способами. Правила суммы для выбора р объектов формируется аналогичным образом и имеет следующую математическую запись. n1+n2+...nр при использовании правила суммы необходимо учитывать что множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объектов В не должно иметь общей части. В противоположном случае и суммы n + m необходимо вычесть величину общей части множеств А и В.
28. Комбинаторика. Правила произведения.комбинаторика - это раздел математики, который изучает вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненные тем или иным правилам можно составить из заданных объектов. Задачи решаемые в комбинаторики называются комбинаторными задачами в этих задачах необходимо подсчитать сколькими способами можно сделать тот или иной выбор или выполнить какое либо условие. Основы теоретических положений в комбинаторике были разработаны французскими учеными Паскалем и Фермой в 17 веке. Дальнейшее развитие комбинаторика получила в трудах - Бернулли, Лейбница и Эллером. Правила произведения для выбора двух объектов:если объект А можно выбрать n способами, и после этого действия объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары объектов ( А или В) можно выполнить n * m способами. Каждый из n способов объектов А можно скомбинировать с различными m способами выбора объекта В- это приводит к n*m способом выбора пары из А и В.
Правила умножения в общем виде:
29. Размещения (с повторениям, без повторений)-пусть дано множество состоящая из n элементов размещением из n элементов по k элементам (0< или равно k < или равно n )называетсяупорядоченным подмножеством,содержащие k различных элеиентов данного множества. Эти подмножества отличаются друг от друга или составами элементов или порядком их распределения но числом элементов во всех этих подмножествах равно k. Для определения числа размещения из n элементов по k учитывают что первый элемент может быть взят n способом, а второй элемент n - 1 способами и т.д.
Размещения без повторений: .Размещения с повторениями: .
30. Сочетание (с повторениями, без повторений) если подмножество различаются не только составом элементов но и порядком их следования, то их называют упорядоченными. Пусть имеются множества состоящие из n элементов. Каждое его неупорядоченное подмножество содержит k элементы, назыв сочетанием из n по k элементам (0 < или равно k < или равно n) и для расчета используют следующую формулу :Сочетания без повторений: ,Сочетания с повторениями:
31. Перестановки (с повторением, без повторений)Перестановками из n элементов называют размещением из n элементов по nэлементов. Перестановки является частным случаем размещения т.к. любое множество из n элементов можно упорядочить n! способами. Pn=n!.Число размещений из элементов по k = произведению числа сочетаний и перестановок. Аkn=Сnk * Рn.
Перестановки без повторений: Pn=n! , перестановки с повторениями: .
32. Математическая статистика. Закон распределения дискретной случайной величины:
Математическая статистика— раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений[1]. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Дискретной случайной величинойназывается такая величина число возможных значений которой конечный, либо представляет собой счетное множество (т.е. все элементы могут быть пронумерованы). Закон: Рассмотрим дискретную случайную величину х, все возможные значения которые известны х1, х2, ..., хn. Для данного множества значений можно составить упорядоченные взаимосвязи. Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение устанавливая связь между возможными значениями, случайной величины и соответствующими им вероятностям. Простейшей формой представления закона случайной величины является таблица следующего вида:
х х1 х2 ... хn
р р1 р2 ... рn где р1+ р2+...+рn=1, другим способом закон можно изображать графически (или с помощью полигона распределения). Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятнотностной точки зрения. Зная закон всегда можно узнать где располагаются возможные значения, случайной величины и какова вероятность ее появления в том или ином интервале.
33.Математическая статистика. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание. Математическая статистика— раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. 2.При решении практических задач нет необходимости характеризовать случ величину полностью достаточно иметь об этой случ величине некот общие представления в теории вероятности для общей харак-ки случайной величины используются показателем основное значение которых - выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности того или иного распределения. Для каждой случайной величине необходимо знать ее среднее значение т.е. значение около которого группируются все возможные ее значения а также необходимо знать число которое характеризует степень разбросанности этих случ величины от среднего значения. Математическое ожидание- МО дискретной случ величины х кот задается след законом распределения
х х1 х2 ... хn
р р1 р2 ... рn называется числом М (х) - х1, р1+х2 р2+...+хnрn Математическое ожидание также называют сред значением случ величины или центром распредления случ величины.
34. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Дисперсия. средняя квадратическое отклонение.При решении практических задач нет необходимости характеризовать случ величину полностью достаточно иметь об этой случ величине некот общие представления в теории вероятности для общей харак-ки случайной величины используются показателем основное значение которых - выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности того или иного распределения. Для каждой случайной величине необходимо знать ее среднее значение т.е. значение около которого группирируются все возможные ее значения а также необходимо знать число которое характеризует степень разбросанности этих случ величины от среднего значения. Дисперсией случ величины назывматем ожидания квадрата отклонения случ величины от ее матем ожидания.
или D (Х)=М(х2)- [ M(x)]2 где М(х2) = р1х12+р2х22+...рnхn2. Среднее квадратическое отклонение случ величины х назывквадратный корень из дисперсии. б(х)=квадрат корень из D(х).
35. Числовые ряды. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Последовательность чисел {an} соед знаком + т.е. а1+а2+...+аn+... где каждый член этой последовательности является действительным называется числовым рядом, и обозначается .
Необходимый признак сходимости ряда- если ряд сходится, то аn=0, а если аn не равно 0, то ряд расходится. Св-ва рядов:
36.Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.Последовательность чисел {an} соед знаком + т.е. а1+а2+...+аn+... где каждый член этой последовательности является действительным называется числовым рядом, и обозначается .Признаки сходимости рядов с положительными членами: 1.Признак Коши.Пусть ряд -это ряд с положительными членами для которого существует конечный предел . Тогда если С<1, то ряд сходится, если С>1, то ряд расходится, если С=1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя. 2.Признак Даланвера.Пусть ряд -это ряд с положительными членами, для которого существует конечный предел ,ели D<1 ,то ряд сходится, если D>1, то ряд расходится, если D=1, то о сходимости ряда сказать ничего нельзя.
37.Знакопеременные ряды. зна-копеременного ряда – знакочередующийся ряд а1 – а2+ а3 +… + (– 1)n–1 а n +… , где все а i положительные числа. Любые два его соседних члена имеют различ-ные знаки. 52
Знакопеременные ряды исследуются на абсолютную и условную сходимости.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 1nna+∞=Σ, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ря-да. Если же ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременно-го ряда расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то такой знакопере-менный ряд называется условно сходящимся.
Сходимость знакочередующегося ряда исследуется при помощи признака Лейбница: если члены знакочередующегося ряда убывают а1 <а2 <а3 …и , то знакочередующийся ряд сходится. Если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные дей-ствительные числа, то ряд называется знакопеременным.
38.Степенные ряды.Ряд вида называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2, …, ak,… – коэффициенты ряда, х-переменная величина, a0 – свободный член. Придавая переменной х в степенном виде конкретное числовое значение х=х0, получим числовой ряд, который будет сходится или расходится. Мн-во всех тех зн-ний переменной, при котором степенной ряд сходится называется областью сходимости данного ряда.