Комбинированный метод получения оценки

Комбинированные методы позволяют снизить трудоемкость статистического эксперимента за счет проведения параллельного исследования упрощенной модели и совместной обработки результатов [1].

Основные идеи этих методов состоят в следующем:

1. Упрощенная модель строится таким образом, чтобы обеспечивалась возможность аналитического исследования и статистического эксперимента со значительно меньшей трудоемкостью по сравнению с основной моделью.

2. Должна быть обеспечена определенная аналогия упрощенной и основной моделей, степень которой оценивается по корреляционной связи их реакций на одинаковые воздействия.

3. С основной и упрощенной моделями проводится параллельный статистический эксперимент одинакового объема при одинаковых воздействиях, и оцениваются их статистические характеристики. Количество и виды статистических характеристик упрощенной системы, вообще говоря, могут не соответствовать статистическим характеристикам, определяемым для основной системы.

4. Для упрощенной модели определяются также точные значения рассматриваемых статистических характеристик и отклонения полученных оценок от точных значений.

5. Фактические значения погрешностей оценок статистических характеристик упрощенной модели используются для уточнения оценок статистических характеристик основной модели. Если обеспечивается достаточная степень корреляционной связи реакций основной и упрощенной моделей на одинаковые воздействия, то таким образом удается существенно уточнить результаты исследования основной модели.

Для решения поставленной задачи использовался комбинированный метод, предусматривающий аналитическое упрощенное исследование. Алгоритм, построенный в рамках метода, включает в себя следующие действия:

1. Определение оценки математического ожидания и дисперсии выходного сигнала основной модели при начальной серии опытов N>=30 по формулам (12) и (13):

, (12)

, (13)

где , .

2. Выбор упрощенной модели с тем, чтобы обеспечивалась возможность аналитического исследования и статистического эксперимента.

3. Получение математического ожидания и дисперсии выходного сигнала упрощенной модели аналитически и прямым методом статистического моделирования при начальной серии опытов N>=30 по формулам (14) и (15):

, (14)

, (15)

где , .

4. Определение корреляционного момента связи выходных сигналов основной и упрощенной модели:

,

где .

5. Нахождение оценки требуемого количества решений:

,

где – оценка коэффициента корреляции двух случайных величин X и Y.

6. Проверка условия окончания вычислений:

. (16)

В случае его невыполнения производятся пункты 7-10, иначе они пропускаются, переходя сразу к пункту 11.

7. Определение методом статистического моделирования оценки математического ожидания и дисперсии, после проведения дополнительной серии опытов:

, ,

где , .

8. Уточнение аналогичным образом оценок упрощенной модели:

, ,

где , .

9. Уточнение оценки корреляционного момента связи выходного сигнала основной модели и выходного сигнала упрощенной модели:

,

где .

10. Нахождение оценки требуемого количества решений:

,

где .

Повторная проверка условия (16), и, в случае его невыполнения, возврат к пункту 7 для очередного проведения дополнительных серий опытов и уточнения найденных результатов.

11. Расчет уточненной оценки математического ожидания по формуле [1]:

.

Очевидно, что при реализации описанного алгоритма важнейшей задачей является выбор упрощенной модели. Так как для её выбора нет конкретных способов, а существуют лишь общие рекомендации, то целесообразно строить упрощенную модель исходя из корреляционного момента связи, получаемого при моделировании исходной и некоторой промежуточной модели.

Была выбрана упрощенная модель в форме безынерционного нелинейного звена с двумя входами A и a, описываемая уравнением:

,

где A и a – параметры исходной модели, K_f – коэффициент, равный 7.

Было вычислено аналитически математическое ожидание выходного сигнала упрощенной модели:

.

Полученное значение математического ожидания для выходного сигнала модели можно будет использовать при моделировании как заранее известную величину.

При решении поставленной задачи численное интегрирование уравнений основной и упрощенной моделей так же, как и раньше, проводилось на ЭВМ в среде Matlab7 [2]. Значения случайных параметров уравнения получались с помощью встроенной функции unifrnd. Программа, проводящая данные вычисления, представлена в приложении Б.

Пусть длина начальной выборки – 30 элементов.

Далее, добавляя элементы в выборку и уточняя на каждой итерации указанные выше параметры, получим следующее:

Таблица 1 – Результаты вычисления по комбинированной схеме

Номер итерации				Количество проведенных опытов	Выигрыш трудоемкости
	0.180960	0.221625			1.173103
	0.263245	0.219561			3.863192
	0.265866	0.224676			6.534622
	0.259811	0.234957			10.828359

Таким образом, окончательным результатом реализации алгоритма являются следующие значения: , , .

Также было отдельно вычислено снижение трудоемкости по сравнению с требуемым количеством опытов в первой части работы, которое составило выигрыш в 10.8414 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

− определено математическое ожидание выходного сигнала неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени, которое при решении задачи разными методами составило:

· при решении аналитически ;

· при решении прямым методом статистического моделирования (необходимо провести 20884 опытов);

· при решении комбинированным методом статистического моделирования (необходимо провести 1967 опытов);

− снижена трудоемкость статистического эксперимента в 10.8414 раза за счет выбора и проведения исследования упрощенной модели.