Линейные диф-е уравн. N-го порядка

Частным случаем линейных однородных диф-ых уравн. являются ЛОДУ с постоянными коэф.

Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка: y^’’+p∙y^’+q∙y=0

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде y=e^kx. Диф-уя эту ф-ю 2 раза и подставляя выражения для , в уравнеия, получим: k²∙e^kx+p∙k∙e^kx+q∙e^kx=0

Получившееся ураснение наз. характеристическим ДУ.

30. Неоднородные линейные диф. уравнения 2-го порядка.

Общим решением y уравнения является сумма его произвольного частного решения y^* и общего решения ŷ=c₁y₁+c₂y₂ соответствующего однородного уравнения

y=y^*+ ŷ

31. Метод Лагранжа…

y=y^*+ ŷ

Частное решение y^*уравнения можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.

32. Система линейных диф. уравнений…

Системой ДУ наз. совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые ф-ии и их производные. Решением системы наз. совокупность из n ф-ий y₁, y₂,…, y_n, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Если в системе все ф-ии

f_i(x; y₁; …, y_n) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некот. обл. D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой т. M₀( этой области сущ., и при том единственное, решение y₁=φ₁(x), y₂=φ₂(x), …, y_n=φ_n(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям.

Двойной интеграл. Основные понятия и определения.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.

Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей D_i, обозначим их площади через ∆S_i, а диаметры — через d_i. В каждой D_i выберем произв. т. M_i(x_i;y_i) и умножим значение f(x_i;y_i) в этой т. на ∆S_i. Составим f(x₁;y₁)∆S_i + f(x₂;y₂)∆S_i + … + f(x_n;y_n)∆S_n = ∑ f(x_i;y_i)∆S_i — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxd_i → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ и опред. равенством:

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.