Дробно-рациональные уравнения
Стандартный вид дробно-рационального уравнения
, (8)
где – многочлены.
Область допустимых значений данного уравнения: . Решение уравнений (8) сводится к решению системы
Дробно-рациональные уравнению вида:
,
где – многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:
К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.
Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.
Пример 1.Решить уравнение .
Решение.
Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):
, т.е.
Его решением будет решение системы
т.е.
Значит, решением заданного уравнения является .
Пример 2.Решить уравнение .
Решение.
Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:
Получаем
Откуда
Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем
Пример 3.Решить уравнение .
Решение.
Группируем слагаемые
.
Заменяем
, откуда
,
т.е. и
.
Получаем уравнение
,
или, то же самое,
.
Полученное уравнение имеет корни
Возвращаемся к переменной :
В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений
которые решаем на ОДЗ: . Приходим к ответу
Пример 4.Решить уравнение .
Решение.
Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:
.
Получаем уравнение, которое приобретает вид
.
Заменяем и приходим к уравнению
.
Решая его, найдем корни:
Возвращаемся к старой переменной:
Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ) :
Приходим к ответу .
Пример 5.Решить уравнение .
Решение.
Введем замену:
. Тогда и получим уравнение
.
Решаем его:
, т.е. .
Решая квадратное уравнение, находим корни:
Вернемся к переменной х:
Решаем первое уравнение:
;
.
Второе уравнение не имеет решения, т.к. .
Получили ответ: .
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Решите уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .
II уровень
2.1. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
III уровень
3.1. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
5) ;
6) .
3.2. Найдите квадрат суммы корней при .
3.3. Определите при каких а уравнение имеет действительные корни:
.
Уравнения с модулем
Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число:
(9)
Геометрическая интерпретация модуля: это расстояние от точки 0 до точки на координатной оси.
Свойства модуля :
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) .
Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:
Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем.
Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.
Пусть далее , , – некоторые выражения с переменной х, и .
I тип:
, (10)
где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х.
1. Если , уравнение (10) решений не имеет.
2. Если , уравнение (10) равносильно уравнению .
3. Если , уравнение (10) равносильно совокупности уравнений:
II тип:
,
где , – некоторые выражения с неизвестной х.
Решать это уравнение можно несколькими способами.
1-й способ – используя определения модуля:
2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения :
Замечание: 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.
3-й способ – метод интервалов. Необходимо:
1) найти те значения х, для которых
2) нанести полученные значения х на числовую ось;
3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;
4) нарисовать кривую знаков;
5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;
6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;
7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.
III тип:уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида:
, (11)
где , , , – некоторые выражения с неизвестной х.
1-й способ – можно использовать определения модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.
2-й способ –метод интервалов.Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для , вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.
IV тип:
(12)
где , .
1-й способ – решение уравнения (12) сводится к решению к совокупности уравнений:
2-й способ – метод интервалов (не рационально).
3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:
Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.
V тип:уравнения, решаемые заменой переменной, например
По свойству модуля оно записывается в виде
Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:
если корень единственный, то остается решить уравнение
Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.
Пример 1.Решить уравнение .
Решение.
Это уравнение I типа. Его ОДЗ: .
Уравнение записывается в виде
. На ОДЗ можно сократить и получаем
, откуда
т.е.
Получаем корни
которые подходят по ОДЗ.
Пример 2.Решить уравнение .
Решение.
Это уравнение II типа. Его ОДЗ: . Оно имеет решение, если , т.е. при . Таким образом, для получаем
(13)
Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду имеем
, откуда .
Это квадратное уравнение решений не имеет, т.к. .
Из второго уравнения совокупности (13) получаем
, т.е. .
Квадратное уравнение имеет корни:
Однако, т.е. первый корень не принадлежит множеству , на котором решали уравнение, ответом является только .
Пример 3.Решить уравнение
Решение.
Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля.
(14)
Решаем первую систему совокупности (14):
;
Значение не подходит по условию . Остается корень.
Решаем вторую систему совокупности (14):
Получили ответ .
Пример 4.Решить уравнение .
Решение.
Поскольку , то уравнение записывается в виде
.
Это уравнение относится к III типу уравнений.
Его ОДЗ: . Решим методом интервалов.
Нулями выражений, стоящих под модулем, являются:
и .
Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка.
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы.
I.
II.
.
III.
Решением данного уравнения являются значения и .
Пример 5.Решить уравнение .
Решение.
Запишем уравнение в виде
.
Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:
. После упрощения имеем
, т.е.
. Получаем корень.
Пример 6.Решить уравнение .
Решение. ОДЗ: , т.е. .
Преобразуем данное уравнение к виду:
Заменяем: .
Уравнение приобретает вид
.
Решаем его как дробно-рациональное и получаем
.
Последнее квадратное уравнение имеет корни
Возвращаясь к переменной х, получаем:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к. слева положительное выражение, а справа – отрицательное.
Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии :
;
.
Приходим к совокупности
т.е.
Решение имеет только второе уравнение совокупности. его корни
Оба они подходят по ОДЗ.
Пришли к ответу .
Пример 7.Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:
.
Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:
т.е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.
Получили ответ: .