Вузлові та контурні рівняння стану еес

Об’єднуючи матричні рівняння першого та другого законів Кірхгофа в загальну систему, отримаємо узагальнене рівняння стану електричного кола, вигляд якого не залежить від його конфігурації і числа елементів:

Ці рівняння можна об’єднати в одне, якщо матриці і розглядати як блоки однієї об’єднаної матриці параметрів схеми заміщення системи:

,

а матриці і розглядати як блоки однієї об’єднаної матриці вихідних параметрів режиму:

.

При цьому узагальнене рівняння стану прийме вигляд:

.

Тут матриця є квадратною і в звичайних умовах неособливою, тому отримане рівняння стану можна розв’язати відносно матриці струмів віток.

Загальне рівняння стану буде мати вигляд:

Система, що складається із (n-1) рівнянь, що зв’язують напруги вузлів відносно балансувального із задаючим струмом в вузлах і ЕРС у вітках, називається системою вузлових рівнянь. Вона широко використовується у практиці розрахунків усталених режимів складних електричних систем. Система вузлових рівнянь може бути отримана таким чином:

підставляючи у рівняння

,

що пов’язує матриці і , вираз із (1.1), отримаємо

;

розв’язавши отримане рівняння відносно струму (що можливо, оскільки Z_B – квадратна і неособлива матриця), будемо мати

підставляючи вираз для в рівняння першого закону Кірхгофа, отримаємо

звідки

Визначимо матрицю провідності віток як

Позначимо

.

Отримана квадратна матриця порядку (n-1) називається матрицею вузлових провідностей. Вона дає можливість отримати кінцеву форму запису системи вузлових рівнянь (матричне вузлове рівняння):

Розв’язавши дане рівняння відносно , можна розрахувати спад напруги на вітках схеми і знайти струми у вітках схеми.

Матриця вузлових провідностей з врахуванням b:

Система вузлових рівнянь:

Знайдемо напругу у вітках за системою вузлових рівнянь:

Розглянуті вузлові рівняння базувалися на рівняннях першого закону Кірхгофа і закону Ома для електричного кола. Їхнє використання для розрахунку усталеного режиму електричної системи дозволяє скоротити порядок розв’язуваної системи до (n-1) у порівнянні з використанням системи узагальнених рівнянь стану, що має порядок n. Ще однією можливістю зниження порядку розв’язуваної системи рівнянь є метод контурних рівнянь, основаних на другому законі Кірхгофа і законі Ома. Можливість застосування таких рівнянь, кількість яких дорівнює кількості незалежних контурів ( k=m-n+1), обумовлена тим, що за відомими струмами у хордах графа схеми заміщення , кількість яких дорівнює кількості контурів, можна однозначно визначити струми у вітках дерева графа.

Виділивши блоки, що відповідають віткам дерева і хордам, можна записати рівняння першого закону Кірхгофа у вигляді:

де, Іа , Іb – стовпці струмів у вітках дерева графа і хордах відповідно.

Звідси випливає, що:

А оскільки:

То ми отримаємо новий запис рівняння:

При розбивці стовпця І на блоки держимо:

Оскільки при виборі системи базисних контурів Nb=1, то

і

Для визначення струму Іb як функції параметрів схеми заміщення, ЕРС у вітках і задавальних струмів у вузлах скористаємось матричним виразом другого закону Кірхгофа:

Підставимо в цей вираз матрицю струмів у вітках:

Таким чином, отримуємо систему k взаємонезалежних рівнянь для визначення струмів у хордах:

Як відомо, для системи базисних контурів струми в хордах називають контурними. Позначивши Іk=Ib, остаточно запишемо математичний вираз системи контурних рівнянь:

де

Квадратна неособлива матриця Zk порядку k називається матрицею контурних опорів.

Розв’язавши рівняння відносно Іk=Ib, можна визначити струми у вітках дерева схеми Ia, спади напруг на втках системи і напруги вузлів відносно балансувального вузла. В результаті вирішується задача визначення параметрів усталеного режиму електричної схеми.

Складемо контурне рівняння для заданої схеми:

Система контурних рівнянь: