Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 
  Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

М

r

r = Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

j

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

x = rcosj; y = rsinj; x2 + y2 = r2

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru ;

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru , половина расстояния между фокусами равно с = Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

y

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

F1 F2

-1 0 ½ 1 2 x

- Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

 
  Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

y

F1 -9 -5 -1 0 F2 x

-3

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пару уравнений

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью - student2.ru

назовем уравнением линии в пространстве.

Наши рекомендации