Определение функции передачи оптического диска в приближении плоской волны (прямая задача расчета дифракционных решеток)

Оптический диск (CD-R) представляет собой

Рассмотренная в § 1, 2 модель дифракционной решетки и основанный на этой модели метод расчета обратной задачи применимы лишь при выполнении условий и Как видно из описания принципа действия оптического диска, величина питы становится по своим размерам сравнима с длиной волны излучения и вышеописанное приближение принципиально не применимо. При решении таких задач, к которым также относится задача моделирования делителя пучка при делении пучка на малое число порядков (до 3-4), период решетки становится сравнимым с длиной волны. В этом случае приходится отказываться от использования приближения Кирхгофа и рассматривать более точные модели, использующие свойства света как переменного электромагнитного поля, удовлетворяющего уравнениям Максвелла. Опишем метод, позволяющий непосредственно находить интенсивности излучения, направляемые в различные дифракционные порядки. Для этого проведем полное и подробное исследование для простейшей фазовой дифракционной решетки, когда функция h(X), которая, в случае оптического диска, соответствует длине питы и расстоянию между питами соответственно, принимает лишь два значения: 0 при и , при . Для простоты мы будем рассматривать случай нормального падения излучения Итак, пусть на дифракционную решетку простейшей структуры (рис. 3.5), изготовленную из идеально проводящего материала, падает из полупространства плоская элект­ромагнитная волна

Рис. 3.5. Один период идеально проводящей простейшей решетки

Непосредственно из уравнений Максвелла следует, что постоянные векторы и ортогональны между собой и параллельны плоскости Z= 0, т.е.

(15)

В силу линейности уравнений Максвелла (а также граничных условий на поверхности рельефа дифракционной решетки) и выполнения принципа суперпозиции мы можем независимо рассматривать падающее излучение типа

Любая другая падающая плоская волна может быть представлена в виде суммы волн этих двух типов. Падающие поля первого типа (16) принято называть H -поляризованными, а поля второго типа (17) - E - поляризованными [20]. В случае H -поляризованного излучения вектор магнитного поля параллелен штрихам решетки, а в случае E -поляризованного излучения вектор электрического поля параллелен решетке (рис. 3.6).

Рис. 3.6, Е - поляризованное элек­тромагнитное излучение

Ниже мы получим, что если исходное падающее поле E -поляризовано, то и полное поле (решение уравнений Максвелла) будет E - поляризованным. Аналогичное утверждение справедливо для H - поляризованного излу­чения. Линейно поляризованное электромагнитное поле Е или Н типа всегда может быть описано при помощи одной скалярной функции. Учитывая симметрию дифракционной решетки, мы можем записать стационарные уравнения Максвелла для полей вида (15):

E_X = E_Z = H_Y,

в случае Е - поляризации,

Н_X = Н_Z = Е_Y,

в случае Н - поляризации,

Обозначая в первом случае а во втором - получаем для функции u(x,z) двумерное уравнение Гельмгольца

Для определения рассеянного поля уравнение Гельмгольца должно быть дополнено краевыми условиями. Эти условия определяются физическими свойствами вещества, из которого изготовлена дифракционная решетка. В случае идеально проводящего материала эти условия имеют вид т.е. тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности рельефа решетки должна обращаться в нуль. Поскольку фазовые дифракционные решетки. Обычно делаются из металлов или снабжаются металлическими покрытиями, мы будем в дальнейшем использовать именно эти граничные условия.

Рис 3.7. К получению граничных условий на поверхности идеально проводящей решётки.

Для E -поляризованного излучения тангенциальная составляющая электрического поля есть и краевое условие принимает простой вид на поверх­ности рельефа решетки. Для того чтобы получить граничные условия для функции u(x,z) в случае Н - поляризованного излучения, рассмотрим границу Г идеально проводящего тела D(рис. 3.7). Пусть - вектор, касательный к границе D, направленный в сторону обхода области D в положительном направлении (против часовой стрелки), а - единичный вектор внешней нормали к D. Нетрудно видеть, что если и то Теперь мы можем легко выписать выражение для тангенциальной составляющей

Граничное условие на поверхности идеального проводника для Н - поляризованного излучения принимает вид т.е на поверхности рельефа дифракционной решетки нормальная производная обращается в нуль.

Таким образом, для определения поля, создаваемого идеально проводящей зеркальной рельефной дифракци­онной решеткой, приходим к краевой задаче для уравнения Гельмгольца в сложной области, изображенной на рис. 5.8. На границе области выполнены условия либо первого, либо второго рода для Е- и Н-поляризации соответственно.

Для выделения единственного решения этой задачи необходимо наложить дополнительные условия, определяющие поведение решения при аналогичные условиям излучения, рассмотренным в §2 гл.1. Считаем, что поле, рассеянное дифракционной решеткой, т.е. полное поле, за исключением поля падающего излучения, удовлетворяет следующим условиям, гарантирующим отсутствие волн, распространяющихся из бесконечности и падающих на решетку, кроме волны, описываемой (15).

Пусть падающее излучение описывается функцией а - поле, рассеянное дифракционной решеткой, - полное поле, создавае­мое решеткой. Тогда

в случае Е-поляризации,

в случае H-поляризации, (19)

при

Считая решетку бесконечной, мы можем ограничиться решением уравнения Гельмгольца в области D (см. рис. 5.8), дополнив задачу условием периодичности решения по периодом d, т.е. и при всех Z>0.

Для построения решения задачи (19) воспользуемся методом разделения переменных. Будем искать решение при Z>0 в виде

(20)

где каждая функция представима в виде X(x)Z(z) и удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Подставляя выражение для в уравнение и разделяя переменные, получаем Из условия периодичности функции X(x) с периодом d следует, что параметр может принимать значения а соответствующие функции X(x) имеют вид

Для каждого n может быть найдена соответствующая функция

(21)

Условиям излучения, входящим в (19), удовлетворяют функции , со знаком "+" в показателе экспоненты при т.е.

При в показателе экспоненты в формуле (21) стоит действительное выражение. Условию излучения будет удовлетворять функция в которой знак в показателе экспоненты выбран таким образом, что этот показатель отрицателен при

Таким образом, функции входящие в (20), имеют вид

Таким образом, в полупространстве распространяются волн в направлениях, определяемых углами которые переносят в этих направлениях энергию, пропор­циональную Кроме того, в полупространстве присутствуют так называемые поверхностные волны для Эти волны быстро затухают по экспоненциальному закону по мере удаления от плоскости оптического дифрак­ционного элемента. Для определения интенсивностей излучения, распространяющихся в направлении порядков теперь достаточно определить коэффициенты разложения в

Отметим, что направления определяемые с помощью модели электромагнитных волн, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, не зависят от направления поляризации используемого излучения, профиля штриха решетки и совпадают с направлениями, полученными в §1 на основе применения приближения Кирхгофа.

Для определения коэффициентов необходимо использовать уравнение Гельмгольца в части области D, находя­щейся в полуплоскости а также граничные условия на Г. Ниже мы рассмотрим случай E-поляризованного излучения, соответствующий граничным условиям первого рода В области будем искать решение задачи методом разделения переменных, а именно пусть представимо в виде Метод разделения переменных приводит к следующему выражению для функции удовлетворяющей условию

n=1,2, ... .

Соответствующие функции удовлетворяющие гранич­ному условию на Г имеют вид

где определяются из уравнения

Решение уравнения Гельмгольца для полного поля в области будем искать в виде

Коэффициенты должны быть определены совместно с коэффициентами из условия согласования полей и граничных условий при Z=0.

Функциональная система уравнений для определения коэффициентов разложения и имеет вид

(0, d - a), (23)

x (-a, 0) (24)

x (-a, 0) (25)

где

n = 0, ±1, ..., ±

Функциональная система (23) - (25) может быть сведена к бесконечной линейной системе уравнений относительно и . Для этого достаточно разложить каждое из уравнений - (25) в ряд Фурье на соответствующем отрезке. Умножая на при различных и интегрируя в пределах от 0 да d-a, получим систему уравнений

(26)

при

при

Для того чтобы написать разложение условий (24) и (25), отметим, что в силу выполнения условия (23) левые части (24) и (25) обращаются в нуль на концах интервала в точках x=-a и x=0. Поскольку система функций при p=1,2,... полна в классе функций, обращающихся в нуль при x=-a и x=0, и ортогональна, для построения разложения достаточно умножить (24) и (25) на при различных значениях p и проинтегрировать полученные равенства по x на интервале (-а,0). В результате получим бесконечную систему соотношений

p=1,2,..., (27)

p=1,2,..., (28)

где

Для решения системы уравнений (26) - (28) заметим, что неизвестные можно исключить из уравнений (27) и (28). Оставшуюся бесконечную систему уравнений можно приближенно решать, ограничиваясь некоторым конечным числом неизвестных и оставляя в системе соответствующее количество уравнений.

Полученные в результате решения системы (26) - (28) коэффициенты для малых определяют интенсивность излучения, распространяющегося в соответствующие дифракционные порядки. Аналогичные системы уравнений могут быть выписаны и для случая Н-поляризации, соответ­ствующей краевому условию второго рода.

Рассмотренные в настоящем параграфе методы расчета прямой задачи рассеяния падающего на дифракционную ре­шетку плоского фронта излучения могут быть положены в ос­нову метода решения обратной задачи, сформулированной в §3. Для решеток простой структуры, подобных рассмотренной выше, задача сводится к определению трех параметров: Период решетки выбирается исходя из требуемого числа распространяющихся дифракционных порядков, как это было сделано в §3. Остающиеся параметры и оцениваются методом подбора.

В качестве примера приведем результаты расчета ди­фракционного ответвителя, позволяющего основную часть энергии направлять в один из дифракционных порядков (обычно нулевой), а в другой порядок направлять малую строго определенную часть падающего излучения.

В табл. 3.2 приведены результаты расчетов некоторых таких ответвителей.

Таблица 3.2

n/n	d/	a/	h0/		Направление падения	Доля энергии в основном порядке	Доля ответвленной энергии
поляризация
E	H	E	H
	1.132	0,566	0,011	0°	___	0,98	0,98	0,01	0,01
	1.415	0,708	0,013	45°	вдоль штрихов		0,98		0,021
	1.132	0,566	0,003	45°	поперек штрихов		0,98		0,01