Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в интегральной форме

Рассмотрим поле точечного заряда q (q > 0) и вычислим поток вектора напряженности через сферу радиуса r, в центре которой нахо-

дится заряд q (рис. 1.5.1). В этом случае вектор E в любой точке вы-бранной сферической поверхности будет перпендикулярным поверх-ности и одинаковым по модулю: E_n = E = const.

S *	S	r	E

n

q

Рис. 1.5.1

Полное число линий, пересекающих сферическую поверхность S, будет равно:

ФE N dN En dS EdS E dS ES.	(1.5.1)
S	S	S	S
Так как для точечного заряда напряженность E	1 q	, то
4 0 r2
ФE N		1 q	4 r2	q	.				(1.5.2)
	4 0 r2

Из формулы (1.5.2) следует, что число линий, пересекающих сфе-рическую поверхность S, на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же. Полученный результат также справедлив и для замкнутой поверхности S ^* произвольной формы, охватывающей заряд q, по-скольку каждая линия напряженности, пронизывающая сферу S, пройдет и сквозь поверхность S ^*.

Если замкнутая поверхность S ^** не охватывает заряд (рис. 1.5.2), создающий поле, то общее количество линий напряженности, входя-щих внутрь поверхности S ^**, будет равно количеству линий, выходя-щих из нее. Поэтому поток вектора напряженности в этом случае бу-дет равен нулю. Для поля точечного заряда справедлива теорема,

предложенная Карлом Фридрихом Гауссом:поток вектора напряжен-

ности поля точечного заряда q сквозь любую замкнутую поверхность S равен заряду q/ ₀, если эта поверхность охватывает заряд, и равен ну-лю, если поверхность не охватывает заряд.

S ^*

E

_S **

q

Рис. 1.5.2

С учетом принципа суперпозиции теорему Гаусса можно распро-странить на произвольную систему q₁, q₂, …, q_n точечных зарядов. Допустим, что внутри замкнутой поверхности S находится k точечных

зарядов: q1, q2, …, qk. В силу принципа суперпозиции напряженность

n

поля, создаваемого всеми зарядами, равна:

EEi .

Поэтому поток

i 1

вектора напряженности через замкнутую поверхность S

Ф

n

n

(1.5.3)

E

EdS

E

dS

E dS.

i

i

S

S i 1

i 1 S

Интеграл, стоящий под знаком суммы, равен q/ ₀ (если заряд на-ходится внутри замкнутой поверхности) или нулю (если находится вне замкнутой поверхности). Следовательно,

				k			k
ФE	EdS			qi ,или	En dS		qi .	(1.5.4)
S			0 i 1	S	0 i 1

Получили теорему Гаусса в интегральной форме: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверх-ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх-

ности зарядов, деленной на ₀.

Если электростатическое поле создается распределенным заря-дом, то теорема Гаусса будет иметь вид:

EndS	q	,	(1.5.5)
S

где q – заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. Величи-ну заряда q можно найти, используя формулы (1.1.3)–(1.1.5).

В ряде случаев, используя теорему Гаусса, характеристики электростатического поля можно рассчитать проще, чем, напри-мер, используя принцип суперпозиции. Теорему Гаусса удобно применять для расчета характеристик симметричных электроста-тических полей (т. е. полей, создаваемых симметричными заря-женными телами).