Дәріс. Елестету арқылы орындалатын салу есептері.

Айталау сұрақтары

1. Кеңістіктегі салу есептерінің қандай түрлері болады?

2. Салу есебiнiң мазмұны қандай үш бөлiктен тұрады?

3. Салу есебін шығарудың негізгі кезеңдерін атаңдар.

Дебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

дәріс. Елестету арқылы орындалатын салу есептері.

Елестету арқылы салу үрдiсiнде есептiң шешiмiнiң бар болу фактiсi ғана бекiтiледi де, ал шын мәнiнде iзделiндi элементтi салу нақты жүргiзiлмейдi. Есептiң шартында берiлген элементтер тiкелей кеңiстiкте елестету арқылы есте сақталып, ал жазықтықта оның тек схематикалық кескiнi ғана салынып отырады. Есептiң шешiмi шын мәнiнде орындалғанда iзделiндi элементтi салуға алып келетiн (егерде оны салу мүмкiн болса) геометриялық операциялар тiзбегiнiң жиынтығы болады. Қарастырылған салу жиынтығын табу мүмкiн болса, онда есеп шығарылған деп есептеледi.

Елестету арқылы орындалатын стереометриялық салу есептерiн шығарғанда салу барысы сипатталып және логикалық негiзделiп отырылады. Олай болса, кеңiстiктегi салу есептерiн шығарғанда салуды логикалық негiздеу негiзгi болып табылады, ал оның сызбасын салу жай көмекшi роль атқарады. Сондықтан кеңiстiктегi салу есептерiн шығару барысында түзулердi‚ жазықтықтарды‚ сфераларды және т.б. фигураларды ойша жүргiзумен шектелуге тура келедi. Мұндай салулардың мүмкiндiгi белгiлi аксиомалар мен теоремаларға сүйенедi. Мысалы‚ жазықтықтың бар болуы мынадай теоремамен бекiтiледi: “бiр түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргiзуге болады және ол бiреу ғана болады“ және т.с.с. Сондықтан‚ бiз белгiлi аксиома немесе теоремалар негiзiнде: 1) бiр түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы немесе 2) қиылысатын екi түзу арқылы‚ немесе 3) параллель екi түзу арқылы немесе сондай-ақ 4) түзу және одан тысқары нүкте арқылы жазықтық жүргiзе аламыз.

Сфераның бар болуы мынадай теоремамен берiледi: “Егер сфераның центрi мен оның бетiнiң бiр нүктесi берiлген болса‚ онда сфераны салуға болады”. Демек “берiлген центрден берiлген радиустағы сфераны саламыз” деген тұжырым‚ ондай сфераның бар болатындығын бiлдiредi. Олай болса сфераны “салу” үшiн оның центрi мен радиусын немесе центрi мен сфера бетiндегi бiр нүктенi бiлу жеткiлiктi.

Мұнда кеңiстiктегi геометриялық образдарды ойша түсiну қажет болады‚ ал бұл белгiлi мөлшердегi ақыл-ой еңбегi мен жеткiлiктi дамыған кеңiстiктiк түсiнiктi қажет етедi. Жалпы кеңiстiктегi елестету арқылы салулар геометрияның негiзгi аксиомаларын қолдануға келтiрiледi және оқушылардың кеңiстiктiк түсiнiгiн дамытудың күштi тiрегi болып табылады.

Стереометрияда әрбiр салу мынадай қарапайым есептердi шығаруға келтiрiледi.

I. Бiр түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргiзу.

II. Түзу және одан тысқары жатқан нүкте арқылы жазықтық жүргiзу.

III. Қиылысатын немесе параллель екi түзу арқылы жазықтық жүргiзу.

IV. Қиылысатын екi жазықтықтың қиылысу сызығын салу.

V. Планиметриядағы оқытылған әдiстердi пайдаланып, берiлген жазықтықтағы шешiмi бар болатын кез келген салу есебiн орындау.

Бiрнеше мысалдар келтiрейiк.

1-есеп. Берiлген түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы, осы түзуге перпендикуляр жазықтық жүргiзу.

Шешуi. түзуiжәнеодан тысқары жатқанА нүктесi берiлсiн. А нүктесi арқылы өтiп түзуiне перпендикуляр болатын a жазықтығын жүргiзу керек (58-сурет).

Талдау. А нүктесi арқылы өтiп түзуiне перпендикуляр болатын a жазықтығы жүргiзiлген болсын. Онда a жазықтығы түзуiн бiр О нүктесiнде қиятын және оған перпендикуляр болатын АО‚ ОВ түзулерi арқылы өтедi. Қиылысатын жәнеАО түзулерi - b жазықтығын‚ қиылысатын жәнеОВтүзулерi - g жазықтығын анықтайды. Олай болса, салуды осы жазықтықтарды жүргiзуден бастаймыз.

Салу. Берiлген түзуi мен одан тысқары жатқанА нүктесi арқылы b жазықтығын жүргiземiз (II-есеп) және түзуi арқылы b жазықтығымен беттеспейтiн кез келген g жазықтығын жүргiземiз. b жазықтығында А нүктесiнен түзуiне перпендикуляр АО түзуiн жүргiземiз және g жазықтығында О нүктесiнен түзуiне перпендикуляр ОВ түзуiн тұрғызамыз (V-есеп). Қиылысатын АО және ОВ түзулерi iзделiндi a жазықтығын анықтайды (III-есеп).

Дәлелдеу. Салуымыз бойынша ^ОА‚ ^ОВ болғандықтан О нүктесiнде қиылысатын ОА‚ ОВ түзулерi арқылы өтетiн a жазықтығы да түзуiнеперпендикуляр және ОАÌa болғандықтан АÎa. Олай болса a iзделiндi жазықтық.

Зерттеу.Егер А нүктесi түзуiнде жатса, онда А нүктесi арқылы түзуiне перпендикуляр кез келген екi түзу тұрғызуға болады. Ол түзулер iзделiндi a жазықтығын анықтайды. Олай болса бұл есептiң әр уақытта шешiмi бар және ол жалғыз болады.

2-есеп. Жазықтықтан тысқары жатқан нүкте арқылы жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргiзу.

Шешуi. aжазықтығы мен одан тысқары А нүктесi берiлсiн. А нүктесi арқылы aжазықтығына перпендикуляр түзу жүргiзу қажет болсын. Бұл есептi екi түрлi әдiспен шығарайық.

1-тәсiл. Талдау. aжазықтығына перпендикуляр АО түзуi жүргiзiлген болсын. Онда үш перпендикуляр туралы теоремаға сәйкес‚ АВ көлбеуi және оның проекциясы ОВ бiр мезгiлде aжазықтығында жатқан қандайда бiр CD түзуiне перпендикуляр болуы қажеттi әрi жеткiлiктi. Мұндағы А нүктесi мен CD түзуi b жазықтығын анықтайды‚ ал қиылысатын АВ және ОВ түзулерi g жазықтығын анықтайды.

Салу.

1) aжазықтығында (59-сурет) кез келген CD түзуiн жүргiземiз (V-есеп).

2) А нүктесi мен CD түзуi арқылы b жазықтығын жүргiземiз (II-есеп).

3) Осы b жазықтығында А нүктесiнен CD түзуiне АВ перпендикулярын түсiремiз (V-есеп).

4) aжазықтығында В нүктесiнен CD түзуiне ВО перпендикулярын тұрғызамыз (V-есеп).

5) АВ және ВО қиылысушы түзулерi g жазықтығын анықтайды (III-есеп) және g^СD.

6) g жазықтығында А нүктесiнен ВО түзуiне перпендикуляр АО түзуiн жүргiземiз (V-есеп).

Дәлелдеу. Салуымыз бойынша АВ^CD, OВ^CD және АО^ВО, CDÌa‚ ВОÌa болғандықтан АО^a.

Зерттеу. Егер А нүктесi a жазықтығында жатса‚ онда А нүктесiнен a жазықтығына перпендикуляр тұрғызуға болады және ол бiреу ғана болады. Олай болса бұл есептiң шешiмi әруақытта бар және жалғыз.

2-тәсiл. Талдау. А нүктесi арқылы a жазықтығына перпендикуляр а түзуi жүргiзiлген болсын (60-сурет). Онда бұл а түзуi a жазықтығына перпендикуляр басқа кез келген түзуiне параллель болады. Ал түзуi a жазықтығында жатқан кез келген қиылысушы b, c екi түзуiне перпендикуляр болуы қажет. түзуi арқылы b түзуiне перпендикуляр b және с түзуiне перпендикуляр g жазықтықтарын жүргiзуге болады. Яғни түзуi осы b және g жазықтықтарының қиылысу сызығы болып табылады.

Салу. 1) a жазықтығында кез келген О нүктесiнде қиылысатын b,c түзулерiн аламыз (V-есеп).

2) О нүктесi арқылы b және c түзулерiне сәйкесiнше перпендикуляр болатын b және g жазықтықтарын жүргiземiз (1-есептегi тәсiл пайдаланылады). Олардың қиылысу сызығы болады.

3) түзуi мен А нүктесi арқылы s жазықтығын жүргiземiз (II-есеп).

s жазықтығында А нүктесi арқылы түзуiне параллель а түзуiн жүргiземiз (V-есеп).

Дәлелдеу. Салуымыз бойынша b, c түзулерi a жазықтығында жатыр. b^b, g^c жазықтықтарының қиылысу сызығы түзуi де бұл түзулердiң әрбiрiне перпендикуляр‚ яғни ^ b, ^ c. Олай болса түзуi a жазықтығына да перпендикуляр. Ал a түзуi түзуiне перпендикуляр болғандықтан‚ а түзуi де a жазықтығына перпендикуляр. а түзуi А нүктесi арқылы өтедi және a жазықтығына перпендикуляр‚ олай болса а iзделiндi түзу.

Зерттеу. Осы есептi 1-тәсiлмен шығару жағдайына ұқсас орындалады.

Көрiп отырғанымыздай салу есебiнде негiзгi қиындық туғызатын талдау кезеңi болып табылады. Салу – талдау негiзiнде орындалатын болғандықтан, талдауды дұрыс жүргiзу қажет.

Стереометриялық салу есептерi негiзiнен стереометрия курсының алғашқы тарауларында кездесетiндiктен‚ салу есептерiне талдау жасауды кеңiстiкте “iлулi” фигуралар (түзулер‚ жазықтықтар) арқылы түсiндiрген оқушыларға түсiнiксiз. Өйткенi, оны елестету қиын. Сондықтан ол түзулер мен жазықтықтарды қандайда бiр кеңiстiк денелерiне келтiрiлген моделдер немесе олардың кескiнi арқылы көрсеткен дұрыс.

Мысалы, 1-есептiң шығарылу жолын талдау үшiн кез келген тiк призманы пайдалануға болады. Нақтылық үшiн АОВА₁О₁В₁ үшбұрышты тiк призмасын алайық (61-сурет). ОО₁ қырын қамтитын түзудi , АОВ табан жағын қамтитын жазықтықты a деп белгiлейiк. Мұндағы ^ a болғандықтан түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шартына сәйкес ОА^ , OB^ болады. түзуi мен одан тысқары жатқан А нүктесi АОО₁А₁ жағын қамтитын b жазықтығын анықтайды. ОВ түзуi ОВВ₁О₁ жағына немесе оны қамтитын g жазықтығына тиiстi.