Задания на контрольную работу № 2
МАТЕМАТИКА
Часть II
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 1 для студентов 1-го курса заочной формы обучения МИППС специальностей 130501 Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ, 130503 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, 130504, Бурение нефтяных и газовых скважин, 130602 Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов, 140101 Тепловые электрические станции, 140104 Промышленная теплоэнергетика, 140211 Электроснабжение, 140607 Электрооборудование автомобилей и тракторов
Краснодар
Составители:ассист. В.Н. Лисянская;
канд. физ.-мат. наук, доц. И.В. Терещенко
УДК 517
Математика. Часть II: метод. указания [электрон.] по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 1 для студентов 1-го курса заочной формы обучения МИППС специальностей 130501, 130503, 130504, 130602, 140101, 140104, 140211, 140607 / Сост.: В.Н.Лисянская, И.В.Терещенко; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. общей математики. – Краснодар: Изд. КубГТУ, 2009. – 29 с.
Изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету, рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольной работы.
Ил. 1. Библиогр.: 7 назв.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ОМ КубГТУ С.М. Силинская;
канд. техн. наук, доц. кафедры ПТЭиТЭС КубГТУ С.В. Нестеров
ã КУБГТУ, 2009
Содержание
| 1 Инструкция по работе с методическими указаниями……….………….. | |
| 2 Программа дисциплины ……………………………………..…................ | |
| 3 Контрольная работа № 2.….……………….…………….……………….. | |
| 4 Темы практических занятий …………………………………................... | |
| 5 Содержание и оформление контрольных работ …….………………….. | |
| 6 Вопросы для подготовки к зачету …………...…………….…………….. | |
| 7 Задания на контрольную работу № 2…….………..……………………... | |
| Список рекомендуемой литературы …………………………..…............... |
Инструкция по работе с методическими указаниями
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.
Пример
Литература: [2, гл.2, c. 3-9], [4, c. 143-162],
где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.
Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.
В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.
Программа дисциплины
Тема 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Тема 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.
Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка.
Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Литература: [2, гл. 13, §§2-8,16,20,21], [4, гл. 15, §§1-4].
Вопросы для самоконтроля
1. Определение дифференциального уравнения.
2. Порядок дифференциального уравнения.
3. Решение (общее и частное) дифференциального уравнения.
4. Теорема Коши (о единственности решения задачи Коши).
5. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
6. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Бернулли.
7. Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка.
8. Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 4. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды, их сходимость. Основные понятия и свойства. Необходимые условия сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Достаточные признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.
Функциональные ряды. Сходимость в точке, радиус сходимости и область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и его вычисление. Интервал и область сходимости степенного ряда.
Литература: [4, гл. 14, §§1-5], [6, ч.2, гл. III, §§1-4].
Вопросы для самоконтроля
1. Определение числового ряда, общий член ряда, n-я частичная сумма.
2. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.
3. Гармонический и обобщенный гармонический ряд.
4. Свойства сходящихся рядов.
5. Необходимый признак сходимости.
6. Признаки сравнения (I и II).
7. Признаки Даламбера и Коши (радикальный, интегральный).
8. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
9. Абсолютная и условная сходимость.
10. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
11. Степенной ряд. Интервал сходимости. Область сходимости.
12. Радиус сходимости и его вычисление (определение, случай , ).
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика.
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа случайных событий. Классификация определения вероятности. Комбинаторика.
Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появлений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их применение.
Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства, плотность вероятности и ее свойства. Нормальный закон распределения и его применение.
Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия, ее свойства.
Выборка и ее графическое представление. Выборочное среднее и дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Литература: [7, гл.1: §§1-5, гл.2 : §§1-3, гл.3: §§1-5, гл.4: §§1-3, гл.5 §1, гл.6: §§1,2, гл.7: §§1,2]; [8, гл.1 §1, гл.2 §§1-4, гл.3 §1, гл.4 §§1,3].
Вопросы для самоконтроля
1. Определение события (достоверное, невозможное, случайное).
2. Определение события (несовместные, полная группа, противоположные).
3. Классическое определение вероятности.
4. Теорема сложения.
5. Условная вероятность. Теорема умножения.
6. Вероятность хотя бы одного события.
7. Формула полной вероятности.
8. Формула Байеса.
9. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений.
10. Дискретная случайная величина.
11. Закон распределения дискретной случайной величины.
12. Математическое ожидание. Его свойства.
13. Дисперсия. Ее свойства.
14. Выборка. Графическое представление выборки. Выборочное среднее и дисперсия.
Контрольная работа № 2
Программой дисциплины «Математика» для студентов 1 курса во втором семестре предусмотрено выполнение контрольной работы № 2.
При выполнении контрольной работы № 2 необходимо изучить основные понятия и определения функции нескольких переменных. Научится вычислять частные производные. Научиться вычислять двойные интегралы через повторные. Изучить теорию числовых рядов. Необходимо знать основные признаки сходимости числовых рядов. Уметь вычислять радиус сходимости и, пользуясь им, интервал сходимости степенного ряда. Изучить теорию дифференциальных уравнений и научиться находить решения дифференциальных уравнений в простейших случаях. Изучить основные понятия теории вероятности: алгебру случайных событий, вероятность случайного события, условную вероятность случайного события, независимость двух случайных событий. Изучить основные понятия, связанные со случайными величинами. Уметь вычислять по известному закону распределения математическое ожидание и дисперсию.
Задание № 1. Найти частные производные первого порядка.
Пример. .
Вычислим частные производные первого порядка и . При вычислении частной производной по переменной вторая переменная считается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференцирования получим:
.
При вычислении частной производной по переменной , вторая переменная считается постоянной величиной. Тогда по правилам дифференцирования получим:
.
Задание № 2. Вычислить двойной интеграл.
Пример. .
Вычисляем двойной интеграл по прямоугольнику через один из повторных интегралов:
.
При интегрировании по переменная считается постоянной. Поэтому, вычисляя внутренний интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, получим
.
Вновь применяя формулу Ньютона –Лейбница уже к внешнему интегралу, получим
.
Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Пример 1. .
Преобразуем уравнение к виду :
.
Сделав подстановку или , получим, подставив в уравнение,
.
Разделяя переменные, получим
.
Интегрируя, имеем:
.
Отсюда
.
Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения .
Пример 2. .
Это уравнение является уравнением Бернулли , где , , и - непрерывные функции. Положим . Тогда получим
или .
Выберем функцию как частное решение уравнения . Разделяя переменные, получим
.
Выбирая простейшие решение , находим . Для оставшейся части уравнения получим , где . Отсюда . Разделяя переменные, получим
,
откуда
.
Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения
, где .
Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
Пример. .
Положим . Тогда
.
Исходное уравнение примет вид
.
Разделяя переменные, найдем
.
Заменив на , получим
,
откуда . Здесь уже допускается , так как уравнение , очевидно, имеет решение . Заменим обратно на , тогда получим уравнение первого порядка:
.
Разделив переменные, получим общее решение исходного уравнения в неявном виде:
.
Задание № 5.Найти частное решение линейного дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения с начальными условиями и .
Найдем решение однородного уравнения, для чего составим и решим характеристическое уравнение:
,
где корень кратности 2.
По корням характеристического уравнения составим общее решение однородного уравнения :
.
Найдем - частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического уравнения нет , то частное решение будем искать в виде, похожем на правую часть неоднородного уравнения. Там находится выражение - многочлен второй степени, общий вид которого
.
Поэтому положим
.
Так как есть решение неоднородного дифференциального уравнения , то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем производные , :
;
подставим их в уравнение :
.
После группировки по степеням получим
.
Два многочлена одинаковой степени равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при степенях в обеих частях:
Отсюда . Общее решение
.
Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, найдем первую производную:
.
Подставляя в начальные условия и , найдем
или
Отсюда окончательно находим
.
Задание № 6. Исследовать сходимость числового ряда .
Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда .
Применим признак Даламбера: имеем , , . Тогда
.
Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 2. Исследования сходимость числового ряда .
Применим интегральный признак Маклорена - Коши, составив функцию
.
Так как на интервале эта функция и с ростом монотонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом:
.
Данный интеграл сходится, так как
,
поэтому сходится и данный ряд.
Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .
Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда .
Выпишем коэффициенты ряда:
, .
Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:
.
Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то получим обобщенный гармонический ряд , который сходится, так как .
Если , то получим знакопеременный ряд , который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности.
Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной задаче на каждую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно
.
Число билетов, которое знает студент равно
.
Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равновероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:
.
Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна .
Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие ) равна , вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие )равна =0,4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие ) равна . Если событие означает, что задача решена, то условные вероятности решить задачу при условии, что это задача по пределам, дифференциальному или интегральному исчислению, соответственно равны:
; ; .
События , и попарно несовместны и одно из них всегда наблюдаемо при любом исходе. Тогда по формулеполной вероятности
находим вероятность сдачи зачета
.
Пример № 3. В студенческой группе 25 человек, из них 15 студентов и 10 студенток. Наугад выбирается делегация на студенческую конференцию в составе четырёх человек. Какова вероятность, что изберут двух студентов и двух студенток?
Решение. Число способов выбрать четырёх человек в делегацию из 25 человек в группе равно числу сочетаний четырёх предметов из 25:
.
Аналогично находим число способов выбрать в делегацию двух студентов из 15:
и двух студенток из 10:
.
Следовательно, число способов выбрать делегацию из четырёх человек, в составе которой две студентки и два студента равно
.
Считая, что исходы выборов равновероятны, получаем вероятность такого выбора:
.
Пример № 4. В автоколонне 10 автобусов. Вероятность того, что у автобуса на линии не будет поломок в течение одной смены, равна . Какова вероятность того, что в течение смены поломок не будет не менее чем у девяти автобусов?
Решение. Вероятность того, что у автобусов не будет поломок в течение смены, определяется формулой Бернулли:
.
Тогда искомая вероятность равна или
.
Пример № 5. Вероятность изготовления на станке нестандартного изделия равна . Какова вероятность обнаружить в партии из 1000 изделий, изготовленных на таком станке, от 940 до 960 стандартных изделий?
Решение. Пусть случайная величина есть число стандартных деталей, обнаруженных в партии. При большом числе изделий в партии и вероятности изготовления стандартной детали близкой к единице, можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа для определения вероятности того, что число стандартных изделий окажется между и :
,
где - функция Лапласа:
.
Подставляя значения, находим
.
Значение функции Лапласа находим из таблицы приложения 2 [7, стр. 462].
Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина с функцией распределения . Требуется:
1) найти плотность распределения вероятностей ;
2) схематично построить графики функций и ;
3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины .
Пример. Решить задание № 9, если задана непрерывная случайная величина с функцией распределения.
1) Плотность распределения случайной величины равна первой производной от функции распределения.
Проверим условие нормировки
.
Подставив сюда найденную плотность распределения, получим
.
2) Строим схематично графики функций и :
Рисунок 1 - Графики функций распределения и плотности распределения .
3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , где a, b - начало и конец интервала, на котором определена плотность распределения .
;
,
.
Замечание. Для вычисления интегралов использовались формулы:
,
,
,
.
Задание № 10. Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины . Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график. Найти вероятность того, что примет значение из интервала .
Пример. Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины Х.
1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.
2. Найти вероятность того, что примет значение из интервала (2;10).
3. Найти вероятность того, что примет значение превышающее 10.
4. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью g=0,95 будут заключены значения величины .
1) Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами , , воспользовавшись формулой для плотности нормального распределения :
.
Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой и достигает максимального значения в этой точке, равного , т.е. . На кривой находятся две точки перегиба с ординатой . Построим график .
Рисунок 2 - График функции .
2) Вероятность попадания нормальной величины в интервал равна
,
где ‑ функция Лапласа:
.
Тогда вероятность попадания в интервал равна
.
Значения функций найдены по таблице приложения 2 [7, стр. 462].
3) Аналогично находим вероятность попадания в интервал :
.
В нашем случае , , , поэтому
.
4) Воспользуемся формулой . Из нее следует, что вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, равна
.
По таблице [7, стр. 462] найдем аргумент t, при котором . Получим . Тогда . Таким образом, получаем, что интервал совпадает с интервалом . Отсюда
.
Задание № 11.Заданы среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины , выборочная средняя и объем выборки . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с доверительной вероятностью .
Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х, если среднее квадратичное отклонение , выборочная средняя и объем выборки .
Требуется найти доверительный интервал . Все величины, кроме коэффициента , известны. Найдем из соотношения , где - функция Лапласа:
.
По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив значение , окончательно получим искомый доверительный интервал .
Темы практических занятий
1. Функции нескольких переменных. Область определения, пределы, непрерывность. Частные производные первого и второго порядков. Экстремумы функции двух переменных.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения старших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Ряды Тейлора. Вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
4. Классическая вероятностная схема. Условные вероятности. Независимость случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли и формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра. Дискретные и непрерывные случайные величины. Среднее значение и дисперсия. Элементы математической статистики. Выборка и ее представление. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Содержание и оформление контрольных работ
1. Требования к оформлению контрольных работ: контрольные работы могут выполняться на электронных носителях или в тетради (12 л.), на обложке необходимо указать номер контрольной работы, свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, свою фамилию, имя, отчество.
2. Требования к выполнению контрольной работы:
- при выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.
- в конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Функции нескольких переменных, основные понятия и определения.
2. Частные производные первого и второго порядков функции нескольких переменных.
3. Дифференциалы первого и второго порядков функции нескольких переменных.
4. Экстремумы функции двух переменных.
5. Двойные интегралы и их свойства. Вычисление двойного интеграла через повторные.
6. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойных интегралов.
7. Тройные интегралы и их свойства. Вычисление тройного интеграла через повторные.
8. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.
9. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
10. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида .
11. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
12. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
13. Уравнения старших порядков, допускающие понижение порядка.
14. Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений (ФСР).
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.
16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
17. Системы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
18. Бесконечные числовые ряды. Сходимость. Сумма числового ряда.
19. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
20. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
21. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость.
22. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящихся рядов.
23. Степенные ряды. Основные определения и теоремы.
24. Ряды Тейлора и Маклорена.
25. Вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов.
26. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
27. Основные понятия теории вероятности. Случайные события и алгебра событий.
28. Вероятность случайных событий. Основные соотношения между вероятностями событий.
29. Классическая вероятностная схема. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической вероятностной схеме.
30. Условные вероятности. Формулы умножения вероятностей. Независимость случайных событий.
31. Формула полной вероятности и формула Байеса.
32. Повторные испытания. Формула Бернулли и формула Пуассона.
33. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра.
34. Случайные величины и их классификация. Функция распределения вероятностей.
35. Дискретные случайные величины. Среднее значение и дисперсия.
36. Непрерывные случайные величины. Среднее значение и дисперсия.
37. Свойства среднего значения. Независимые случайные величины.
38. Свойства дисперсии. Ковариация. Коэффициент регрессии.
39. Распределение Бернулли. Распределение Пуассона.
40. Равномерное распределение. Распределение Гаусса. Правило трех сигм.
41. Элементы математической статистики. Выборка и ее представление. Полигон и Гистограмма.
42. Числовые характеристики выборки. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Оценка параметров распределения по выборке.
Задания на контрольную работу № 2
Задание № 1. Найти частные производные первого порядка.
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 2. Вычислить двойной интеграл.
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 5. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
1. , , .
2. , , .
3. , , .
4. , , .
5. , , .
6. , , .
7. , , .
8. , , .
9. , , .
10. , , .
Задание № 6. Исследовать на сходимость числовой ряд .
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 7. Найти интервал сходимости степенного ряда .
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .
Задание № 8. Решить задачу по теории вероятности.
1. В городе пятнадцать продовольственных и пять непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что все эти магазины непродовольственные.
2. В мешочке перемешаны четыре красных и пять синих шаров. Какова вероятность того, что вытащенные наудачу два шара окажутся разного цвета?
3. В таксомоторном парке работают двадцать шоферов первого класса, двадцать пять – второго класса и пять шоферов третьего класса. Вероятность безаварийной работы шоферов первого, второго, третьего классов соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,7. Наудачу проверенный шофёр работал без аварий. Найти вероятность того, что это был шофёр второго класса.
4. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это туфли?
5. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 60 % продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных изделий заключено между 652 и 765?
6. С конвейера сходит в среднем 95 изделий первого сорта. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий, сошедших с конвейера, 700 первого сорта.
7. Бросают пять игральных кубика. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа выпавших «двоек».
8. Оптовая база обслуживает 40 магазинов. От каждого магазина заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что на следующий день потребуют товары 10 магазинов.
9. Вероятность того, что каждому из 600 покупателей необходима обувь женская 38 размера, равна 0,5. Найти вероятность того, что не менее 130 покупателям потребуется обувь 38 размера.
10. На склад поступает продукция трёх фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 10 %, второй – 40 % и третьей – 50 %. Известно также, что средний процент нестандартных деталей для первой фабрики равен 5 %, для второй – 15 % и, наконец, для третьей – 3 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие оказалось нестандартным.
Задание № 9. Задана непрерывная случайная величина с функцией распределения . Требуется: